- •Конспект лекций к дисциплине
- •Комплексный чертеж в ортогональных проекциях. Точка
- •Взаимное положение прямых
- •Точка на поверхности вращения
- •Глава 5. Пересечение поверхностей плоскостями. Развертки Пересечение многогранника с плоскостью
- •Свойства разверток. Метод вращения
- •Метод вращения
- •Пересечение поверхностей вращения плоскостями. Развертки
- •Пересечение плоскости с цилиндром
- •Развертка цилиндра
- •Пересечение плоскости с конусом
- •Развертка конуса
- •Пересечение плоскостью сферы, тора
- •Глава 6. Взаимное пересечение поверхностей
- •Пересечение соосных поверхностей вращения
- •Пересечение поверхностей с проецирующим цилиндром Поверхности с пересекающимися осями
- •Соприкасающиеся поверхности
Пересечение поверхностей вращения плоскостями. Развертки
Плоскость пересекается:
с цилиндромвращения поокружности, эллипсу илипрямымсоответственно при положении1,2,3 секущей плоскости (рис.5.3,а);
с конусом(рис.5.3,б,в):
по окружности, если плоскость (1) перпендикулярна оси вращения;
по эллипсу, если плоскость (2) пересекает все образующие и не перпендикулярна оси;
а б в
Рис.5.3.
по параболе, если плоскость (3) параллельна одной образующей;
по двум прямым, если плоскость (4) проходит через вершину конуса;
по гиперболе, если плоскость (5) параллельна двум образующим (в частности (6), параллельна оси);
со сферой по окружности.
Пересечение плоскости с цилиндром
Рассмотрим пересечение цилиндра вращения с плоскостью по эллипсу (рис.5.4).
На рисунке дан усеченныйцилиндр, верхнее основание которого представлено фронтально-проецирующей (перпендикулярной фронтальной плоскости проекцийП2) плоскостью – прямой линиейА2В2, которая является одновременно фронтальной проекцией линии пересечения.
Рис.5.4.
Так как цилиндр проецирующий, то горизонтальная проекция линии пересечения есть окружность, совпадающая с проекцией цилиндра (все, что находится на поверхности цилиндра, проецируется на его горизонтальную проекцию, в том числе и линия пересечения). Отметим проекции А3 , В3 , С3 , D3опорных точекA, B, C, D, лежащих на контурных образующих цилиндра.Чтобы получить проекции промежуточных точек, зададимся фронтальными проекциями, например точекM, N. Отметив их горизонтальные проекцииM1, N1, лежащие на проекции линии пересечения – окружности, строим профильные проекцииM3 ,N3 по координатамyMиyN. Профильная проекция кривой – эллипс с осямиА3В3иC3D3. Кривая симметрична относительно осей эллипса, поэтому можно построить точкиM3*, N3*, симметричные точкамM3, N3 и использовать их при проведении кривой.
Развертка цилиндра
Полный цилиндр(рис.5.5) развертывается в прямоугольник: если основание цилиндра – окружность, то длину основания развертки подсчитывают по формулеd; если основание цилиндра не окружность или цилиндр усеченный, задают большое количество (до 24, в учебных условиях до 12) образующих и откладывают на развертке длины хордО1=О111; 12 –1121…;длиной развертки будет сумма длин этих хорд. При построенииусеченного цилиндра на каждую образующую развертки переносят точку с проекции, напримерN2дает точкуN. Полученные точки соединяют плавной кривой.
Рис.5.5.
На рис.5.5. представлена развертка боковой поверхности цилиндра без верхнего и нижнего оснований.
Пересечение плоскости с конусом
На рис.5.6. дан усеченный конус, полученный пересечением конуса вращения с фронтально-проецирующей плоскостью .Опорные точкиАиВлежат на образующих конуса, которые проецируются на плоскостьП2 в виде крайних. ТочкиСиDнаходятся на образующих, которые проецируются в виде крайних на плоскостьП3. Отмечаем их проекции.
Определим промежуточные точки EиF. Зададимся их проекциейЕ2F2(пустьЕ2F2лежит на середине отрезкаА2В2) и проведем на конусе окружность так, чтобы ее фронтальная проекция – прямая линия1212*прошла черезЕ2F2. Чертим горизонтальную проекцию этой окружности (окружность диаметра11 –11*) и находим на ней с помощью линий связи проекцииE1иF1 точек.
Рис.5.6.
Профильные проекции E3иF3 находим с помощью координат y. Линия пересечения конуса с плоскостью в данном случае – эллипс, большая ось которого –АВ; малая ось эллипса проходит через середину большой осиАВ и ей перпендикулярна, следовательно, концами ее являются точкиEиF, которые были определены ранее.
Промежуточные точки можно построить с помощью окружностей (как точки EиF) или с помощью прямых образующих, проходящих через вершину конусаS(например точкиМиN, задаваясь проекциямиМ2N2).