7. Предел функции.

Критерий Коши существования конечного предела

Опр., еслиопределена в некоторой окрестности точки, за исключением быть может самой этой точки, и если.

Опр.(По Гейне), если.

8. Непрерывность функции в точке

Опр.Функциянепрерывна в точке, если она определена в некоторой окрестности точкии в самой этой точке, и если, то есть.

9. Дифференцируемость функции.

Необходимое условие дифференцируемости

Опр.Функцияназывается дифференцируемой в точке, если ее приращение можно представить в виде,

где: - не зависит от;при;;.

Теор. (Необходимое условие дифференцируемости). Если функциядифференцируема в точке, тогда она имеет в этой точке все частные производные.

Док.Пустьдифференцируема в точке, то есть. Пусть. Тогда,. Следовательно существует предел. Аналогично доказывается для.

10. Достаточное условие дифференцируемости

Теор. (Достаточное условие дифференцируемости). Если все частные производныеопределены в окрестности точкии непрерывны в ней, тогдадифференцируема в точке.

Док.Рассмотрим приращение функции двух переменных..

Используя два раза теорему Лагранжа о среднем и непрерывность частных производных, последнее выражение представим в виде .

Здесь: при.

Раскрывая скобки и группируя слагаемые, имеем .

при.

Таким образом, приращение функции представлено в виде , где- являются частными производными и не зависят оти. Теорема доказана.

11. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теор. (Необходимое и достаточное условие дифференцируемости). Функциядифференцируема в точке тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точкиее можно представить в виде:, где- некоторые непрерывные в точкефункции.

Док.Из дифференцируемости имеем. Так как. Доопределив функциюв точкенулем, получим непрерывную функцию. Таким образом, имеем.

Обратно, из равенства в формулировке теоремы, используя непрерывность функций в точке, т.е., получаем. Действительнопри. Теорема доказана.

12. Дифференцирование сложной функции

Теор.Пустьдифференцированы в точкеи функциядифференцируема в точке. Тогда сложная функциядифференцированы в точке, причем, где:;.

Док.Имеем. Так какнекие непрерывные функции, тогдатоже непрерывная функция, а значитдифференцируема. В силу равенствчастную производную можно записать в виде. Теорема доказана.

13. Дифференциал.

Инвариантность формы первого дифференциала

Опр.Пустьдифференцируема в точке, тогда линейная относительночасть приращения этой функции называется дифференциалом.

Найдем дифференциал сложной функции .

.

Таким образом, форма записи первого дифференциала не зависит от того, зависимыми или независимыми являются переменные.

14. Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Вектор нормали

- дифференциал.

- уравнение касательной плоскости.

- вектор нормали.

15. Теорема о смешанной производной

Теор.(О смешанных производных). Пустьопределена вместе со своими частными производнымив некоторой окрестности точки, причеминепрерывны в этой точке, тогда.

Док.- приращение функции по переменной. Возьмем от приращения функции поприращение по. Последнее выражение можно рассматривать как приращение вспомогательной функциипо переменной, поэтому, применяя к этому приращению теорему о среднем Лагранжа, получим. К выражению в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа как к приращению функциипо переменнойи получим. Аналогично. Приравниваем полученные выражения и переходим к пределу при. Учитывая непрерывность производныхи, получим требуемое равенство. Теорема доказана.

Пусть имеет непрерывные вторые частные производные в точке, а, значит, ее первые частные производные дифференцируемы в этой точке. Возьмем дифференциал от первого дифференциала, считаяиконстантами,.

..