16.) Доверительный интервал и доверительная вероятность

16. Стандартный интервал а</=х</=b

Вероятность попадания в него случайной величины

Р(а</=х</=b)= ар (плотность) (Х) dx

Доверительная вероятность α – некоторая заданная вероятность, с которой случ.величина попадает в определённый интервал.

Такой интервал – доверительный. Стандартные интервалы

(вместо < должно быть </=)

1. М- σ <х< М+ σ (α = 68%)

2. М- 2σ <х< М+ 2σ (α = 95%)

3. М- 3σ <х< М+ 3σ (α = 99,7%)

Доверительный интервал в математической статистике - это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой что он содержит этот параметр с заданной вероятностью.

ОпределениеПравить

Пусть  есть выборка из распределения , где  - неизвестный параметр. Пусть также задана . Тогда случайный интервал , где

есть некоторые статистики имеющейся выборки, такой что

,

называется -доверительным интервалом для параметра .

(доверительный интервал для нормального распределение)

17.) генеральная и выборочная совокупности

17.  Генеральной совокупностью называют совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, или совокупность результатов всех мыслимых наблюдений,  проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов.

Замечание: Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки. Выборочной совокупностью называют часть отобранных объектов из генеральной совокупности.

( Генеральная средняя. Пусть изучается генеральная совокупность относительно количественного признака Х. Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Если все значения признака различны, то Если значения признака имеют частоты N1, N2, …, Nk, где N1 +N2+…+Nk= N, то

.Выборочная средняя. Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n. Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если все значения признака выборки различны, то если же все значения имеют частоты n1, n2,…,nk, то

Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней. )

Число наблюдений, образующих выборку, называется объемом выборки.

Репрезентативности выборки - полнота и адекватность свойств генеральной совокупности, по отношению к которой эту выборку можно считать представительной.

Точечная и интервальная оценка параметра генеральной совокупности. Предположим, что по выборке нужно найти не интервал, в котором находится параметр, а одно число которое ближе всего к параметру. Под оценкой понимается любое число, рассчитанное по выборке и характеризующее параметр.Свойства точечной оценки: Несмещенность – среднее выборочного распределения оценки равно величине параметра. Состоятельность – при увеличении объема выборки оценка приближается к значения измеряемого параметра. Эффективность – чем ниже дисперсия, т.е. чем меньше отличаются оценки, полученные в разных выборках, тем выше эффективность.

Средняя арифметическая - такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Для того чтобы вычислить среднюю арифметическую, необходимо сумму всех значений признаков разделить на их число.Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Примером средней арифметической может служить общий фонд заработной платы — это сумма заработных плат всех работников.

Средняя арифметическая может быть вычислена по формуле:

где n — численность совокупности.

Медиана — это такое значение признака, которое разделяет ранжированный ряд распределения на две равные части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Для нахождения медианы, нужно отыскать значение признака, которое находится на середине упорядоченного ряда.

• X_Me  -нижняя граница медианного интервала

• h_Me   -величина медианного интервала;

• S_Me-1-сумма накопленных частот интервала, предшествующего медианному интервалу;

• f_Me  -локальная частота медианного интервала.

Мода (Mo) − величина, наиболее часто встречающаяся в данной совокупности. В вариационном ряду это − варианта, имеющая наибольшую частоту. Медианой (Me) называют варианту, которая является серединой упорядоченного (ранжированного) вариационного ряда, т. е. делит его на две равные части: одна часть имеет значения вариационного признака, меньшие средней, другая − бóльшие. Медиана указывает на значение вариационного признака, которого достигла половина единиц совокупности.

Мода — значение признака, имеющее наибольшую частоту в статистическом ряду распределения. Определение моды производится разными способами, и это зависит от того, представлен ли варьирующий признак в виде дискретного или интервального ряда.

• _ХМ0 — нижняя граница модального интервала;

• h_Mo  - величина (шаг, ширина) модального интервала;

• f₁ - локальная частота интервала, предшествующего модальному;

• f₂ - локальная частота модального интервала;

• f₃ - локальная частота интервала, следующего за модальным.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

18.) характеристики рассеяния

18. Размах вариации — это разность между максимальным и минимальным значениями признака

Он показывает пределы, в которых изменяется величина признака в изучаемой совокупности.

Среднее абсолютное отклонение (mean absolute deviation) =арифметическое среднее отклонений всех значений от среднего. Абсолютным оно является потому, что суммируются отклонения по модулю, так как в противном случае сумма всех разбросов была бы равна нулю. Формула среднего абсолютного отклонения:    Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую, или исправленную, выборочные дисперсии. ,

где символ  обозначает выборочное среднее.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, т.е. математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно  

  Для исправления выборочной дисперсии достаточно умножить ее на дробь

получим исправленную дисперсию S². Исправленная дисперсия является несмещенной оценкой.

В качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию.

Для оценки среднего квадратического генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение.