1350

Следовательно, исходя из выражения (1) проекции вектора Q на оси координат будут

QX		mx
					(3)
QY my .
Q		mz
	Z
Основное уравнение динамики для материальной точки имеет вид
		n
mW		F i ,			(4)

i 1

n

где F F i – равнодействующая всех сил, действующих на точку.

i 1

Но ускорение движения

d m

d

m

d

dQ

.

W

mW

dt

dt

dt

dt

С учетом этого получаем новую третью форму основного уравнения динамики материальной точки

				n
	dQ
					F	.	(5)
	dt
				i 1

Таким образом, производная по времени от вектора количества движения материальной точки равна равнодействующей всех приложенных к точке сил.

Понятие об импульсе силы

Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории под действием некоторой системы сил. Предположим, что

в числе действующих на точку сил имеется некоторая сила F , постоянная в течение всего времени движения по модулю (величине) и

направлению. Тогда импульсом этой силы на некотором интервале

времени называется вектор, равный произведению вектора силы на продолжительность интервала времени ее действия:

13

				t t0 ,	(6)
	S		F
где t t0 – интервал времени действия постоянной силы							.
						F
Размерность импульса силы в СИ: S Н с					и кгс в СГСЕ ,

т. е. та же размерность, что и для импульса материальной точки (количества движения).

Рассмотрим общий случай. Сила F , действующая на материальную точку, переменна и по модулю, и по направлению (рис. 8). Мысленно разобьем рассматриваемый интервал времени от t0 до t на

"n" одинаковых элементарных подынтервалов времени t t t0 , n

следовательно, на траектории мы получим n участков движения, соответствующих интервалам времени.

F t

t, M

ti 1, M i 1

ti , M i

t0 , M 0 F ti

F t0

Рис. 8

Пусть F ti – вектор силы, действующий на материальную точку в начале i-го подынтервала времени. Будем считать, что число подынтервалов "n" настолько велико, а продолжительность каждого i-го подынтервала настолько мала, что сила F(ti ) в течение времени t не меняется ни по модулю, ни по направлению. В этом случае приближенно элементарный импульс на i-м подынтервале времени определится выражением

	i		ti t .	(7)
S		F

14

Тогда, приближенно, на всем интервале времени (t t0 ) импульс силы будет равен геометрической сумме импульсов сил на каждом i-м подынтервале времени

		n	n		n
					i		ti ti .		(8)
	S			S		F
			i 1		i 1
Эта формула для вычисления импульса силы F									на интервале вре-

мени от t0 до t будет тем точнее, чем больше число интервалов "n" и чем меньше продолжительность ti одного подынтервала времени.

Поэтому точным значением импульса силы F на интервале времени от t0 до t будет предел

n

S lim F ti t .

n i 1t 0

А этот предел по определению – это интеграл, т. е.

			t
	S		Fdt .			(9)
			t0

Импульс силы на некотором интервале времени равен векторному интегралу от вектора силы по времени на том же интервале времени.

Замечание: Так как векторный интеграл геометрической суммы равен геометрической сумме векторных интегралов, то импульс

n

равнодействующей силы F F i на промежутке времени от на-

i 1

чального t0 до текущего t будет равен

	t		n	t
S		F dt		Fi dt .
	t0		i 1 t0

15

Теорема об изменении количества движения материальной точки

Определение: Геометрическое приращение вектора количества движения материальной точки (импульса точки) на некотором интервале времени равно векторной сумме импульсов всех действующих на точку сил на том же интервале времени

				n		n	t
		t		t0		i			dt .
	Q		Q		S			Fi
				i 1		i 1t
							0

Доказательство Для доказательства теоремы воспользуемся третьей формой

основного уравнения динамики материальной точки (5):

n

d Q

i

,

F

F

dt

i 1

n

где

F

– равнодействующая, равная

F

i .

i 1

Проинтегрируем это векторное равенство по времени на ин-

тервале от t0 до t:

t

t

dQ

dt

Fdt ,

(10)

t0

dt

t0

но интеграл слева

t

d Q

t

t0

dt

Q

Q

(11)

t0

dt

равен геометрическому приращению вектора	количества движения
материальной точки на интервале от t0 до	t, а интеграл справа
t

Fdt S , согласно определению, – импульс равнодействующей силы

t0

16

на том же интервале времени. В соответствии с правилами векторного интегрирования

t

n

n

t

n

S

Fidt

F idt S i ,

(12)

t0 i 1

i 1t0

i 1

где Si – импульс i-й силы F i

на интервале времени от t0

до t. С уче-

том выражений (11) и (12), выражение (10) примет вид

n

Q t Q t0

S i .

(13)

i 1

Таким образом, теорема доказана.

Замечание 1: Как видно из выражения (13), вектор количества движения материальной точки не изменится за промежуток времени от t0 до t ( Q t Q t0 ), если геометрическая сумма импульсов всех сил на этом интервале времени равна нулю.

Замечание 2: Теорема об изменении импульса материальной точки получена из основного уравнения динамики. Вопрос: когда при решении задач лучше использовать основной закон динамики, а когда теорему об изменении количества движения точки?

Очевидно, что если в числе известных и неизвестных параметров задачи мы имеем массу, силы и ускорение, то используем для решения задачи основной закон динамики.

Если в числе известных и неизвестных параметров задачи имеем массу, начальную и конечные скорости, силы и время, то для решения задачи используем теорему об изменении импульса точки.

Пример использования теоремы об изменении импульса материальной точки: струя несжимаемой жидкости диаметра d набегает под углом 90 на горизонтальную неподвижную поверхность со скоростью v и растекается по ней (рис. 9). Плотность жидкости . Требуется определить силу, с которой жидкость действует на поверхность.

17

y

d v

F	x

l

Рис. 9

Сила, с которой жидкость действует на стенку, по величине равна силе, с которой стенка действует на жидкость. Поэтому уравнение изменения вектора количества движения для массы жидкости

m =	ρυπ d 2	t в проекции на ось х запишется в следующем виде:
	4
			m 1x m 0x F t .	( )
	Так как 1x 0,		а 0x , то вышеуказанное выражение ( )

примет вид

ρ 2πd 2 / 4 t F t ,

откуда F ρ 2πd 2 / 4.

Понятие о механической работе

Пусть материальная точка движется прямолинейно, а в числе действующих на нее сил имеется сила F , постоянная по модулю и по направлению (рис. 10). Пусть М0 и М – начальное и конечное положение материальной точки. Угол – угол между направлением движения и вектором силы F . Очевидно, что = const в течение всего времени движения материальной точки. Тогда работа силы на ука-

18

занном перемещении – это скалярное произведение вектора силы F на вектор перемещения M0M :

A F M0 M F M0 M cosα.

(14)

F

M 0	M
	Рис. 10

Работа силы будет положительной, если соs 0, т. е. угол – острый и отрицательный, если соs 0, т. е. угол – тупой (рис. 11).

	F				F
M 0				M				M 0		M
	cosα 0,		А 0
α острый,				α тупой,				cosα 0,		А 0
				Рис. 11
Размерность работы в системе СИ: [А] = Н м =							кг м2		Дж .
								c2

Рассмотрим общий случай. Пусть материальная точка движет-

ся по криволинейной траектории и на нее действует сила F , переменная по величине и направлению (рис. 12). Пусть в начальный момент времени t0 материальная точка находилась в точке М0 траектории, а ее радиус-вектор относительно произвольного неподвижного

центра О равен r0 . Сила, действующая на точку в этот момент време-

ни, – F0 . Соответственно, в конечный момент времени материальная точка находится в точке М траектории, ее радиус-вектор относитель-

но того же неподвижного центра О равен r , сила, действующая на

материальную точку в конечный момент времени, – F .

19

M

M i 1						F
			r
M i	r i
		r i 1

r i

			F i			O
M
	0				r 0
		F 0

Рис. 12

Мысленно разобьем траекторию перемещения материальной

точки M0 M на "n" подынтервалов. Для каждого i-го подынтервала

ti – радиус-вектор материальной точки начала i-го под-

введем ri

r

ынтервала времени. Тогда

i 1

t

– радиус-вектор материальной

r

r

i 1

точки начала i 1 -го подынтервала и конца

i-го подынтервала, а

r

i

r

i 1

r

i – геометрическое (векторное)

приращение радиуса-

вектора r

на i-м элементарном перемещении материальной точки.

Пусть Fi F ti – сила, действующая на материальную точку в момент времени ti – начала i-го подынтервала перемещения. Будем полагать, что размеры каждого i-го подынтервала перемещения настолько малы, что:

1)изменением силы по модулю и по направлению в течение всего подынтервала перемещения можно пренебречь;

2)кривизной перемещения на этом подынтервале также можно пренебречь.

Тогда ri можно рассматривать как вектор прямолинейного перемещения, и, согласно формуле (14), работа силы на i-м элементарном перемещении приближенно будет равна

Ai F ti ri .

20

Найдем алгебраическую сумму работ на всех этих элементарных перемещениях

A n	n	n
	(F ) A	F i t			ri .
	i			i
	i 1	i 1

Эта формула дает выражение для работы силы F на перемещении M 0M тем точнее, чем больше число элементарных подынтервалов "n" и чем меньше модули геометрических приращений ri .

Тогда точным выражением для работы силы

F на перемещении

M 0M будет предел

n

A(F )

lim

ti

i

d

.

(15)

F

r

F

r

n i 1

M0M

ri 0

Следовательно, работа силы в общем случае равна криволинейному интегралу от вектора силы вдоль рассматриваемого криволинейного перемещения.

Замечание. Подынтегральное выражение F d r δA называют

элементарной работой. Элементарная работа обозначается А, а не dА, так как в общем случае она не является дифференциалом

функции. Вектор d r – это вектор бесконечно малого перемещения материальной точки вдоль траектории, поэтому элементарная работа – это работа силы F на бесконечно малом действительном перемещении точки.

Из кинематики материальной точки известно, что скорость точ-

ки в векторной форме определяется выражением ddtr d r dt .

Тогда равенство (15) для работы можно записать уже через интеграл по времени

t
A(F )	F			dt ,	(15*)
t0

так как

21

F cos

,

t

F

F

,

то A(F )

F cos

F

,

dt .

(16)

t0

Если ввести неподвижную прямоугольную декартову систему координат Oxyz с началом в неподвижном центре О, то силу F через свои проекции на оси координат можно записать в виде

F X i Y j Z k ,

где i, j, k – орты системы координат. Координатное представление радиуса вектора

r x i y j z k ,

где x, y, z – координаты положения материальной точки, следова-

тельно, d r dxi dy j dz k .

Вспоминая из математики, что скалярное произведение векторов a b aX bX aY bY aZ bZ , для элементарной работы получаем:

δA F d r Xdx Ydy Zdz .

Отсюда приходим к еще одной формуле для определения ра-

боты

A(F )	Xdx Ydy Zdz .	(17)
	M0M

Понятие о кинетической энергии материальной точки

Определение: Скалярная положительная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат модуля ее скорости, на-

зывается кинетической энергией материальной точки

	T	m 2
			.	(18)
		2

22