1350

Размерность кинетической энергии: в СИ

T кг м2 Н м Дж , с2

в СГСЕ

T кг м .

Как видно из этих выражений, размерность кинетической энергии и работы совпадает.

Так как 2 2 (скалярное произведение вектора самого на самого себя равно квадрату его модуля), то кинетическая энергия материальной точки равна половине произведения массы точки на скалярный квадрат вектора скорости

T m 2 . 2

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

Алгебраическое приращение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на материальную точку сил на том же перемещении:

n

T2 T1 Ai .

i 1

Доказательство

Пусть материальная точка массы m движется под действием

системы сил F1, F 2 , ... F n . Выпишем основное уравнение динамики для нашей материальной точки в первой форме

		n
				.	(*)
mW			Fi
		i 1

23

Вспоминая, что вектор ускорения W ddt , перепишем выра-

жение (*) в виде:

				n
	d
						i .
m					F
	dt
				i 1

Помножим левую и правую части этого равенства скалярно на

вектор бесконечно малого перемещения материальной точки d r :

						n
	d
				d				i d		.	(19)
m					r		F		r
	dt
						i 1

Но F i d r , согласно определению, – элементарная работа δAi

силы Fi на бесконечно малом перемещении d r . Левую часть выражения (19) можно переписать в следующем виде:

m 2

d

d r

m

d r m

d m d d

dT ,

dt

dt

2

где dТ – дифференциал от кинетической энергии материальной точки. Исходя из вышесказанного выражение (19) перепишется в виде:

n
dT δAi .	(**)
i 1

Выражение (**) – это закон изменения кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме. И этот закон гла-

сит: Бесконечно малое действительное приращение (дифференциал) кинетической энергии материальной точки равно алгебраической сумме элементарных работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (**) на конечном криволинейном перемещении точки M1M2 :

24

		n
dT			δAi .			(20)
M M	2	i 1 M M			2
1			1
Левая часть равенства		(20)		dT T2 T1		– это алгеб-
			M1M 2

раическое приращение кинетической энергии материальной точки на рассмотренном перемещении.

Здесь T2

m 2

– конечная кинетическая энергия материаль-

2

2

m 2

ной точки; T

1

– начальная кинетическая энергия материальной

1

2

точки; 1 и

2

– соответственно начальная и конечная скорости

движения точки. Правая часть выражения (20)

δAi

Ai ,

Fi

dr

M1M 2

M1M 2

где Аi – работа i-й силы на данном перемещении. Тогда окончательно получаем

n
T2 T1 Ai .	(21)

i 1

Теорема доказана.

25

3. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Пусть имеетсяz некоторое твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z по известному закону = (t). Требуется определить кинетический момент твердого тела относительно этой оси z. Как нам известно (из кинематики вращательного движения), угловая

скорость вращения тела ω – это вектор. Модуль этого вектора

	ω	dφ		. Направлен этот вектор вдоль оси z в ту сторону, откуда
		dt

вращение твердого тела видится против хода часовой стрелки (рис. 13).

а z б z

	Qi	i	hi
h	i
Мi
i	ω	Мi

Qi	k	k
		ω

Рис. 13

26

оси z, то ω ω Z

, где:

Таким образом, если ввести орт k

k

ω 0,

1.

ω Z

если ω и

k совпадают по направлению

(рис. 13, а), и

ω 0,

2.

ω Z

если ω и k

имеют противоположные на-

правления (рис. 13, б).

Рассмотрим движение i-й материальной точки твердого тела массой mi, отстоящей от оси вращения на расстоянии hi. Скорость ееi направлена по касательной к траектории движения, т. е. по касательной к окружности радиуса hi в сторону вращения твердого тела.

Модуль ее i ω hi

.

Вектор количества ее движения Q i

направлен

в

ту же

сторону,

что

и

вектор

скорости,

а

по

величине

Qi

mi i

mi hi ω .

Кинетический момент этой точки относительно

оси z, согласно определению, будет равен:

1. Если ω

0

, то l

h

Q

m

h2ω m

h2ω

m

h2 , и

Z

Z i

i

i

i

i

i

i

Z

i

i

2. Если ω Z

0, то

h2 ω

m

l

h

Q

h2m

ω m

h2ω

m

h2 .

Z i

i

i

i

i

i

i

Z

i

i

Z

i

i

Следовательно, независимо от направления вращения

l

m

h2ω

m

h2 .

Z i

i

i

Z

i

i

Кинетический момент всего твердого тела относительно оси z, согласно определению, равен алгебраической сумме кинетических моментов всех его точек относительно той же оси z, следовательно,

		n			n
l	Z	l	Z		m	h2ω	Z	.
				i	i	i
		i 1			i 1

n

Но mi hi2 J z – момент инерции твердого тела относительно

i 1

оси z.

Тогда окончательно получим
l Z J Z ω Z .	(1)

27

Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения равен произведению его момента инерции относительно этой оси на проекцию угловой скорости вращения тела на ось вращения.

Кинетический момент тела будет:

1)положительным (Jz > 0), если тело вращается в положительном направлении относительно оси;

2)отрицательным (Jz < 0), если тело вращается в отрицательном направлении относительно оси.

Если вспомнить, что ω z ddtφ , то lz = Jz .

Теорема о кинетическом моменте материальной системы относительно оси

Производная по времени от кинетического момента материальной системы относительно оси равна алгебраической сумме моментов всех действующих на систему внешних сил относительно этой же оси

dl z	n				E
	M	F			.
dt
	i 1	z		i

Доказательство

Пусть имеется материальная система, состоящая из "n" матери-

альных точек, и неподвижная ось

z. Запишем теорему

о кинетиче-

ском моменте i -й материальной точки системы относительно оси:

dlzi

E

J

M

F i

M

F i

,

(2)

dt

z

z

здесь lz

i

– кинетический момент

i -й материальной точки системы

E

относительно оси z. F i

– равнодействующая

всех внешних сил,

J

действующих на i-ю материальную точку. F i

– равнодействующая

всех внутренних сил, действующих на i-ю материальную точку. Выражения, аналогичные выражению (2), мы можем составить

для всех точек материальной системы i 1, 2,... n .

28

Просуммируем правые и левые части выражений (2) по всем i 1, 2,... n :

n dl

n

E

n

J

iz

M z

F i

M z F i

.

i 1

dt

i 1

i 1

n

n

dliz

d liz

dl z

Но здесь

i 1

,

dt

dt

i 1

dt

где lz –

кинетический

момент системы

относительно оси z.

n

J

M

F i

0 в силу закона парности внутренних сил системы

i 1

z

(главный момент всех внутренних сил системы относительно любой оси равен нулю).

Исходя из этого имеем

	dl z	n				E
		M
			F i			.	(3)
	dt
		i 1	z

Теорема доказана.

Следствие: закон сохранения кинетического момента ма-

териальной системы относительно неподвижной оси.

Кинетический момент материальной системы относительно неподвижной оси постоянен, если алгебраическая сумма моментов всех действующих на систему внешних сил относительно той же оси равна нулю.

Доказательство

Исходя из выражения (3) теоремы об изменении кинетического момента материальной системы относительно оси имеем, если

n				E		dlz				const t .
M					0 , то		0	l
	F i
						dt
i 1	z								z

29

Замечание: Подчеркнем, что внутренние силы на величину кинетического момента материальной системы влияния не оказывают.

Пример: Платформа Жуковского (рис. 14)

а

б

P1		P1
ω1 P 2	ω2	P 2

R

R

Рис. 14

Известно, J1 – момент инерции системы первоначальный (рис. 14, а); J2 – момент инерции системы конечный (рис. 14, б).

Очевидно, J1 J2.

На систему действуют: Р1 – сила веса человека с гантелями, Р2 – вес платформы, R – динамическая реакция подпятника. Так как эти силы проходят через ось вращения, то их момент относительно

нее равен нулю. Кинетический														момент системы в первом случае
l	1	J	1	ω	1	, во втором l				2	J2 ω2 .			В силу справедливости закона о со-
хранении кинетического момента
						l l	2	J		ω J ω				и ω			J1	ω 2 < 1.
															2
						1			1		1	2	2			1
																	J2

Так как J2 J1, вращение платформы и человека замедлится.

30

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Пусть имеется некоторое твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z по какому-то закону = (t) (рис. 15).

	Вращающееся тело находится под	z
			R A
	действием следующих внешних сил:

1. F1, F 2 ,... F n – внешние активные

силы.

2. R 0 , R A – внешние динамические

реакции подпятника O и подшипника A . Применим к нашему твердому телу

теорему о кинетическом моменте материальной системы относительно оси

dlz

n

E

M

M

R 0 M z R A .

dt

F i

i 1

z

z

Мы знаем, что

l

J

dφ

J

= Jz z.

z

z

dt

z

Следовательно,

dl z

Jz . Так как

dt

F 2

F1

F n	R0
	O
	Рис. 15

силы R 0 и R A пересекают ось z, то

Мz ( R 0 ) = Мz

R A = 0. Исходя

из этого получаем

n

E

Jz = M

(4)

F i

.

i 1

z

Выражение (4) – это дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Заметим, что в правой части этого выражения стоят моменты только внешних активных сил.

С помощью дифференциального уравнения вращения (4), зная закон вращения = (t) и момент инерции тела относительно оси вращения, можно определить главный момент всех внешних активных сил относительно оси вращения. Для этого надо дважды про-

31

дифференцировать закон вращения = (t) по времени и подставить полученное значение в выражение (4).

Если известен момент инерции тела относительно оси вращения и все активные силы, действующие на тело, то можно определить закон его вращения = (t). Для этого надо определить алгебраическую сумму моментов всех внешних активных сил относительно оси вращения и подставить ее в уравнение (4). Затем необходимо проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение второго порядка (4). При интегрировании возникнут две константы интегрирования, которые легко определить, если заданы начальные условия, а именно: положение тела и его угловая скорость вращения, т. е. при t0 = 0 будут известны = 0 и = 0.

Часть II. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Основное уравнение динамики материальной точки

	V		Пример 1: Шарик массой 2 3 кг дви-
	φ	жется по гладкому круговому желобу радиу-
		сом 3 м, расположенному в вертикальной
		плоскости. Найти давление шарика на же-
	О	лоб в момент, когда φ = 30 , если его ско-
		рость V в этот момент равна 7 м/с.

Решение. На первом шаге решения задачи на рисунке указываются все силы, действующие на дви-

	y V	жущееся тело. Для нашей задачи это сила
	φ	веса P = mg и сила реакции со стороны же-
		лоба N. Затем составляется векторное урав-
	О N P	нение основного закона динамики движе-
		ния материальной точки: N P m a (*).
	x	Следующим шагом необходимо ввести
		удобную для решения задачи систему ко-
		ординат. В нашем случае ею будет яв-

ляться система координат, у которой одна из осей направлена вдоль радиуса окружности движения тела (см. рис.). При таком выборе сис-

32