1350

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела

	1. На подвижное маховое ко-
	лесо массой 98 кг действует пара	М
	сил с моментом М = 40 Н м. Через
	какое время колесо приобретает уг-
	ловую скорость 100 рад/с, если ра-
	диус инерции колеса относительно
	оси вращения = 0,8 м? Найти также
	угловое ускорение вращения коле-
	са. Трением пренебречь.

2. Горизонтальный диск радиусом 60 см и массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью, соответствующей 120 об/мин. К диску прижимают тормозную колодку Д с силой Q = 120 Н. Через 10 с диск останавливается. Найти коэффициент трения между колодкой и диском, трением в подшипниках пренебречь.

3. Однородный шар массой

900 кг и радиусом 0,5 м вращается вокруг вертикального диаметра. На шар действует момент сопротивления М = 9 Дж. Через сколько секунд шар остановится, если его начальная угловая скорость вращения0 = 12 рад/с?

Q

Д

М

53

z

b

С

F

T 1

T 2

4. Прямоугольная пластина массой 5 кг вращается из состояния покоя вокруг вертикальной оси z. К пластине в точке С приложена сила F = 10 Н, перпендикулярная пластине. Найти угловое ускорение вращения и число оборотов, которое сделает пластина, прежде чем ее угловая скорость станет равной 240 об/мин. Pадиус инерции пластины относи-

тельно оси z известен: ρ z b3 ,

ширина пластины b = 3 м. Трением пренебречь.

5. Найти постоянный момент трения в подшипниках вала, если маховик массой 5 кг

ирадиусом 20 см, вращавшийся с угловой скоростью 100 рад/с, остановился через 100 с. Кроме этого, определить угловую скорость маховика за 10 с до остановки. Массу маховика считать равномерно распределенной по ободу.

6.Найти угловое ускорение барабана, являющегося сплошным однородным цилиндром, зная его радиус R = 40 см, вес P = 490 Н

исилы натяжения ремня Т1 = 30 Н, Т2 = 20 Н. Найти также число оборотов, которое сделает барабан до того момента, когда угловая скорость его будет соответствовать 240 рад/с. Движение начинается из состояния покоя.

54

7. Однородный горизонтальный стержень длиной 3 м и массой 50 кг начинает вращаться из состояния покоя вокруг оси z под действием горизонтальной силы

F , перпендикулярной стержню. Найти величину силы, если стержень за 5 с сделал 4 оборота. Трением пренебречь.

8. Однородный круговой конус массой 100 кг вращается без начальной угловой скорости вокруг своей вертикальной оси. Радиус основания конуса 50 см. К конусу приложена механическая пара сил, расположенная в плоскости, перпендикулярной оси конуса. Найти величину момента этой пары, если через 6 с после начала движения конус имеет угловую скорость вращения = 16 рад/с. Трением пренебречь.

9. Однородный горизонтальный стержень длиной 3 м и массой 60 кг вращается из состояния покоя вокруг оси z. К концу стержня приложена горизонтальная сила F = 10 Н, перпендикулярная стержню. Найти угловое ускорение стержня и число оборотов, которое он сделает, прежде чем его угловая скорость будет соответствовать 240 об/мин. Трением пренебречь.

z

F

М

z

F

55

10. Маховик радиусом 35 см жестко надет на невесомый вал радиусом 5 см. В начальный момент времени вал вращается с угловой скоростью, соответствующей 120 об/мин. Коэффициент трения между валом и подшипником f = 0,0628. Сколько оборотов сделает вал с маховиком до остановки? Сколько времени пройдет до остановки? Массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу.

		11. Найти	момент	трения
		в подшипниках, если колесо мас-
	М	сой 50 кг, пущенное с начальной
		угловой скоростью 240 об/мин
		и имеющее	радиус	инерции
		= 20 см, остановилось через 5 с.
		Найти также угловое ускорение
		вращения колеса.

z

М

12. Шар массой 125 кг и радиусом 20 см начинает вращаться из состояния покоя под действием механической пары сил, момент которой М = 2 Дж. Найти угловую скорость шара через 10 с после начала вращения.

56

13. Горизонтальный диск массой 60 кг и радиусом 40 см начинает вращаться из состояния покоя вокруг проходящей через точку О вертикальной оси, которая отстоит от центра диска на расстояние ОС = 20 см. Момент механической пары сил, приложенной к диску, равен М = 30 Н м. Найти угловое ускорение диска и его угловую скорость в момент времени t = 4 c. Трением в подшипниках пренебречь.

	14. Шкив		А	ра-
	диусом 40 см и массой
	1000 кг	приводится		в	А
	движение	из состояния
	покоя шкивом В посред-
	ством ременной передачи.
	Радиус инерции шкива А
	относительно оси		враще-
	ния 25 см. Натяжение
	ведущей	ветви	ремня
	F1 = 2250 Н, а ведомой
	F2 = 1000 Н. Найти, пре-
	небрегая массой ремня и
	трением, тот момент вре-
	мени, когда шкив А со-
	вершит четыре оборота,
	а также угловую ско-
	рость его вращения в этот
	момент времени.

О С М

F 2

В

F 1

57

				15. Маховик массой 50 кг
				и радиусом 40 см приводится во
				вращение из состояния покоя по-
		О		стоянным моментом М = 100 Н м.
	М		Мтр	В подшипниках возникает посто-
				янный момент трения Мтр. Найти
				величину последнего, если через
				100 с маховик имеет угловую ско-
				рость вращения 500 рад/с. Массу
				маховика считать равномерно
				распределенной по его ободу.

		16. Круглая		однородная
F		пластинка массой 20 кг и диа-
		метром 1 м вращается из состоя-
	О	ния покоя вокруг оси О, перпен-
		дикулярной плоскости пластин-
		ки. К пластинке приложена сила
		F = 40 Н,	действующая по каса-
		тельной к окружности пластин-
		ки. Пренебрегая трением, найти
		угловое	ускорение	пластинки,
		а также число оборотов, которое
		она сделает за 5 с вращения.

58

17.Горизонтальный диск радиусом 20 см и массой 50 кг вращается вокруг вертикальной оси

сугловой скоростью, соответствующей 120 об/мин. С какой силой Q надо прижать тормозную колодку Д, чтобы диск остановился, сделав два оборота? Коэффициент трения между колодкой и диском f = 0,314. Трением в подшипнике и подпятнике пренебречь.

18.Однородный шар массой 100 кг и радиусом 50 см вращается из состояния покоя вокруг вертикального диаметра. К шару приложена механическая пара сил, расположенная в горизонтальной плоскости с моментом, равным

20 Н м. Найти угловое ускорение шара и число оборотов, которое он сделает за 5 с вращения. Трением в подшипниках пренебречь.

Q

Д

z

М

59

z

b

F

М О Мтр

T 1

О

T 2

19. Прямоугольная пластина массой 100 кг вращается из состояния покоя вокруг вертикальной оси z. К пластине приложена сила F = 20 Н, перпендикулярная пластине. Найти угловое ускорение пластины и число оборотов, которое она сделает за 25 с вращения. Радиус инерции пластины относительно оси z:

ρ z	b		, где b = 3 м. Трением в
	3

подшипниках пренебречь.

20.На маховик массой 100 кг

ирадиусом 50 см действует механическая пара сил с моментом

М = 70 Н м. Момент трения в под-

шипниках Мтр = 20 Н м. Найти, через сколько секунд маховик

будет иметь угловую скорость, равную 480 об/мин, если движение начинается из состояния покоя, а масса маховика равномерно распределена по его ободу.

21. Найти угловое ускорение шкива, зная его радиус R = 40 см, вес Р = 98 кг, радиус инерции относительно оси вращения = 20 см и силы натяжения ремня Т1 = 250 Н, Т2 = 150 Н. Найти также угловую скорость шкива в тот момент, когда он сделает пять оборотов, если движение начинается из состояния покоя. Трением в подшипниках пренебречь.

60

22.Однородный круговой конус массой 200 кг вращается без начальной угловой скорости вокруг своей оси, расположенной вертикально. Радиус основания конуса 50 см. К конусу приложена механическая пара сил с моментом

М= 30 Н м, лежащая в горизонтальной плоскости. Найти угловое ускорение конуса и число оборотов, которое он сделает за 10 с. Трением в подшипниках пренебречь.

23.Однородный горизонтальный стержень длиной 4 м и массой 10 кг начинает вращаться из состояния покоя вокруг вертикальной оси z под действием горизонталь-

ной силы F , перпендикулярной стержню. Найти эту силу, если через 5 с стержень имеет угловую скорость вращения 15 рад/с. Трением в подшипниках пренебречь.

z

М

z

F

61

		24. Маховик		массой	50 кг
	М	и радиусом 40 см начинает вра-
		щаться из состояния покоя под
		действием постоянного момента
		М = 50 Н м. Пренебрегая трени-
		ем в подшипниках, найти, через
		сколько	секунд	маховик	будет
		иметь угловую скорость 100 рад/с.
		Найти также число оборотов, ко-
		торое сделает маховик за 20 с.
		Массу	маховика	считать	рав-

номерно распределенной по его ободу.

	z	25. Однородный горизон-
		тальный	стержень длиной	4 м
		и массой	100 кг начинает	вра-

		щаться из состояния покоя во-
		круг вертикальной оси z за счет
		горизонтальной силы F , при-
		ложенной к концу стержня. Най-
		ти величину этой силы, если че-
	F
		рез 10 с после начала движения
		стержень имеет угловую ско-
		рость 15 рад/с. Трением в под-
		шипниках пренебречь.

62