1350

темы координат проекция вектора ускорения на ось х известна:

ax V 2 . Далее проектируем основное уравнение динамики (*) на ось х:

R

N + m g cos = m ax,

откуда

N m

V 2

m g cos m (

V 2

g cos ).

R

R

Подставляем

численные значения заданных параметров:

2

7

3

N 2

3 (

9,8

) 68,6H . Согласно аксиоме динамики, сила D ,

3

2

с которой шарик давит на желоб, такая же по величине, но противо-

положная по направлению силе N , с которой желоб действует на шарик. Следовательно, D = N = 68,6 H.

Пример 2: В коническом маятнике груз движется с постоянной скоростью V = 1,4 м/c. Нить образует с вертикалью угол 30 . Найти длину нити.

Решение. 1. Указываем силы веса P = mg и натяжения нити Т, действующие на груз.

2. Составляем основное уравнение динамики движения груза:

	T P m a .	(*).
3.	Вводим удобную для решения
задачи систему координат.
4.	Проектируем	уравнение (*)
на ось х:

О

30 ْ

О1

О

30 ْ

	T sin30 max ,					х	T
		V 2					О1
	где ax		, следовательно,
		l sin30
	T sin 30		m	V 2	.	(**).
							z
				l sin 30

V

V

у

P

33

5. Проектируем уравнение (*) на ось z:

T cos 30 m g m a

z

,

но az = 0 (так как вдоль оси z груз не движется), тогда остается

T cos30 m g 0 .

(***)

Из

этого

уравнения

определяем

силу

натяжения нити

T

m g

, а из уравнения (**) получим:

cos 30

1,42

3

mV

2

V

2

l

cos 30

2

0,7 м .

2

g sin

2

1

2

T sin

30

30

9,8

2

Теоремы об изменении импульса и кинетической энергии материальной точки

Пример 1. Перед станцией машинист выключил пар и притормозил поезд, имеющий скорость 36 км/ч. Считая коэффициент трения f = 0,01 и зная, что сила торможения (коэффициент ) равна 0,1 от веса поезда, найти время движения поезда до остановки.

Решение. Так как в числе известных и неизвестных параметров являются силы, скорости и время, то для решения задачи используем теорему об изменении количества движения материальной точки. Вначале нарисуем схему движения поезда с указанием векторов сил,

действующих на тело, и первоначальной скорости движения V 0 . Введем прямоугольную систему координат Оху, одну из осей,

например ось х, направим в сторону первоначального движения тела

(рис. 16).

Векторное уравнение теоремы об изменении количества движения для нашей задачи имеет вид

S (Fтр Fт ) S (P) S (N ) mV1 1 mV0 .						(*).

34

	y
	N
F тр F т	O	V 0
		x
	Р
	Рис. 16

Здесь S ( F тр F т ) (F тр	F т ) t – импульс силы	трения и
силы торможения; S(P) P t –	импульс силы веса тела	(поезда);

S ( N ) – импульс нормальной реакции со стороны поверхности, дей-

ствующей на тело, за время торможения t . V 1 0 – конечная скорость движения тела, V0 = 36 км/ч = 10 м/с – начальная скорость движения тела.

Спроектируем векторное равенство (*) на ось х:

Fтр t Fт t mV0 .

Откуда

t	mV0			mV0		V0		10	9,3 c.
	F	F		m g f m g β		g ( f β)		9,8(0,01 0,1)
	тр	т

Пример 2. Перед спуском машинист выключил пар и притормозил поезд, имеющий скорость 36 км/ч; угол наклона спуска sin = 0,008. Считая коэффициент трения f = 0,01 и зная, что сила торможения равна 0,1 от веса поезда, определить, какой путь поезд пройдет до остановки.

Решение. Так как в числе известных и неизвестных параметров являются силы, скорость и путь (перемещение), то для решения задачи используем теорему об изменении кинетической энергии материальной точки. Вначале нарисуем схему движения поезда с указанием

векторов сил, действующих на тело, и вектор перемещения S (рис. 17).

35

F тF тр

N

S

Р α

Рис. 17

Составим выражение теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки для нашего поезда:

2	2
mV1		mV0	= А ( F ) + А ( F		) + А ( N ) + А ( P ),		(*)
2	2		т	тр

где A(F т ) F т S β m g S cos 180 β m g S – работа силы торможе-

ния;	A(F тр ) F тр S f m g S cos180 f m g S –	работа силы тре-
ния;	A (N ) N S N S cos90 0 – работа реакции	N; A (P) P S

m g S cos (90 α) m g S sin α – работа силы веса на данном перемещении S . Тогда уравнение (*) перепишется в следующем виде:

		m V 2			m V 2	β m g S f m g S m g S sin α ,
		1			0
	2				2
	откуда
	S				V02			102	100 м .
			g (β f sin α)					9,8 (0,1 0,01 0,008)

36

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела

Пример 1.				На неподвижное маховое
колесо массой 980 кг действуют пара сил с
моментом М = 160 Нм. Через какое время						М
колесо приобретет угловую скорость 10 рад/с,
если радиус инерции колеса относительно
оси вращения = 0,8 м. Найти также угло-
вое ускорение вращения колеса. Трением
пренебречь.
Решение.				Составим дифференциаль-
ное уравнение вращения махового колеса:
					Jz = М,	( )
здесь J	z	m ρ2		– момент инерции колеса относительно оси враще-
ния; =		d 2φ	=	dω	= – угловое ускорение вращения колеса. Сле-
		dt2		dt

довательно, уравнение ( ) примет вид mp2 = М, откуда угловое ускорение вращения колеса

	=	M	=	160	0,26 рад/с2.
		mρ2		980 0,82
	Для определения времени, когда колесо приобретет угловую
	скорость 10 рад/с,	необходимо			дифференциальное уравнение

	m ρ2	dω	M проинтегрировать по времени. Сначала разделяем пе-
		dt
	ременные dω			M	dt , затем интегрируем левую и правую части ра-
				m ρ2

венства от начального момента времени t0 = 0 до текущего момента t:

	t	M			t
dω				dt .
		m ρ	2
t	0			t	0
		Откуда получаем
					ω ω0	M	(t t0 ).
						m ρ2

37

В соответствии с условием задачи в момент времени t0 = 0 начальная угловая скорость вращения колеса 0 = 0. Тогда

ω

M

t , откуда t

ω mρ2

10 980 0,82

3,9 c .

m ρ2

M

160

Пример 2. Горизонтальный диск

радиусом 40 см и массой 100 кг вра-

щается вокруг вертикальной оси с уг-

ловой

скоростью,

соответствующей

180 об/мин. К диску прижимают тор-

Q

мозную колодку Д с силой Q = 150 Н.

Д

Через 10 с диск останавливается. Най-

ти коэффициент трения между ко-

лодкой и диском, а также число обо-

ротов, которое сделает диск до оста-

новки. Трением в подшипниках пре-

небречь, массу диска считать распре-

деленной по его ободу.

Решение. Составим дифференциальное уравнение вращения диска:

Jz = Mz (Fт),

(*)

здесь J

z

m R2 – момент инерции диска относительно оси вращения;

=

d 2φ

dω

ε – угловое ускорение вращения колеса, Mz (Fт) = –QfR –

dt2

dt

момент силы торможения относительно оси вращения z. Таким обра-

зом уравнение (*) примет вид: m R2 dω QfR . Сократив на R и раз- dt

	делив переменные, получим: dω	Qf	dt . Далее интегрируем по
		mR

времени от начального его момента t0 = 0 до текущего момента t:

t	Qf	t
dω		dt . Получим
t0	mR t0
		ω ω			Qf	(t t		).	(**)
			0		mR		0

38

В соответствии с условием задачи в момент времени t0 = 0

	начальная угловая скорость вращения диска ω		180	2 π	рад/с
		0		60

= 6 π рад/с , а в момент остановки диска t = 10 с его угловая скорость

вращения = 0. Подставим эти данные в выражение (**), из которого получим

f ω0mR 6 π 100 0,4 0,16 π 0,5. Qt 150 10

Чтобы найти, сколько оборотов сделал диск до остановки,

вспомним, что ω ddt , и преобразуем уравнение (**) к виду:

		dφ	ω			Q f			t . Проинтегрируем его. Сначала разделим перемен-
				0
		dt				mR
	ные: d = ω							dt		Qf	tdt , затем интегрируем левую и правую части
							0			mR

равенства от начального момента времени t0 = 0 до текущего момента t:

– 0 = ω0 (t t0 )

Qf

(t 2 t02 ) .

2mR

Но в начальный момент времени t0 = 0 угол поворота 0 = 0,

следовательно, получим:

ω

t

Q f

t 2 ,

0

2m R

а число оборотов до остановки

N

ω0

t

Q f

t 2

6π 10

150 0,16π

102

15 об .

4π 100 0,4

2π

2π

4π m R

2π

39

Часть III. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Основной закон динамики движения материальной точки

z			1. Шарик массой 2 кг скре-
А			плен с двумя невесомыми стерж-
			нями. Система вращается вокруг
60			вертикальной оси z c угловой
			скоростью = 7 рад/с. Найти уси-
		М
			лия в стержнях, если АМ = 40 см.
30

В

		2. Какую скорость			должен
		иметь вагон поезда на закругле-
		нии траектории движения, чтобы
		давление его равномерно рас-
	h	пределялось на оба рельса (т. е.
		было бы перпендикулярно полот-
а
		ну дороги)? Возвышение наруж-
		ного рельса над		внутренним:
		h = 5 см,	ширина		колеи
		а = 155 см,	радиус	закругления
		траектории движения R = 620 м.

40

3. Дорога для велосипедных гонок имеет наклон на закруглениях. Угол наклона дороги 30 . Найти радиус закругления, если при скорости 14 м/с давление велосипеда перпендикулярно поверхности дороги.

4.К концу невесомого стержня длиной 80 см прикреплен шарик массой 2 кг. Стержень вращается в вертикальной плоскости вокруг оси О. Найти усилие

встержне в момент, когда = 60 , если скорость шарика в этот момент равна 5,6 м/с.

5.Коническая воронка вра-

щается с угловой скоростью

ω 73 рад/с вокруг своей геомет-

рической оси, расположенной вертикально. Найти расстояние ОМ, если известно, что в положении М шарик находится в покое отно-

	сительно конуса. α arccos	4	.
		5

Трением между шариком и конусом пренебречь.

30

О

60

М

α

О

41

z

А

30

В

6. Шарик	массой 10 3 кг
укреплен на	конце невесомого

стержня ВМ и удерживается го-

Мризонтальной веревкой АМ длиной 3 м. Система вращается вокруг вертикальной оси z. Найти предельную угловую скорость,

если веревка рвется при натяжении 370 Н, принять g = 10 м/с2.

7. Самолет летит по закруглению радиусом 1500 м в горизонтальной плоскости. В самолете производится взвешивание некоторого груза на пружинных весах. Известно, что груз весил 40 Н, весы же показывают 50 Н. Найти скорость самолета.

		8. Самолет делает вираж в гори-
		зонтальной плоскости. Найти радиус
		виража, если плоскости крыльев на-
	45	клонены к горизонту под углом 45 ,
		а скорость самолета V = 756 км/ч,
		подъемная сила направлена перпенди-

кулярно плоскости крыльев.

42