Методичка теория вероятности с типовыми заданиями (Силкин)

893

Правила (теоремы) сложения и умножения вероятностей редко применяют порознь, обычно они применяются вместе.

Пример 6. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один стрелок.

Решение. Обозначим события: A1– попал первый стрелок, A2– попал второй стрелок.

Событие A = (попал хотя бы один стрелок) представляет собой сумму двух совместных событий A = A1 + A2, вероятность которого равна

P(A1 + A2) = P(A1) + P( A2) – P(A1 · A2).

События A1 и A2 независимые, поэтому

P(A1+A2)=P(A1)+ P( A2) – P(A1) P(A2) = 0,7 + 0,6 – 0,7·0,6=0,88.

Пример 7. Два стрелка сделали по 1-му выстрелу в мишень, вероятность попадания первого 0,8, а второго 0,6. Найти вероятность следующих событий:1) событие A – оба попали; 2) событие B – попал один ; 3) событие C

– попал хотя бы один.

Решение. Обозначим через A1, A2 события, обозначающие соответственно, что 1-й и 2-й стрелок попали в цель. По условию: Р(A1)=0,8; Р(A2)=0,6.

Событие A = A1A2. Так как события A1 и A2 независимы P(A) = P(A1A2) =

P(A1)P(A2) = 0,8·0,6 = 0,48.

B = A1A2 A1 A2 . P(B) = 0,2·0,6+0,8·0,4 = 0,12+0,32 = 0,44.

С – ни попал ни один. С A1 A2 . P(C) = 1 – P(C ) = 1 – 0,2·0,4 = 0,92.

8.4.2. Формулы полной вероятности и вероятности гипотез

Пусть событие А может наступать только одновременно с одним из попарно несовместных событий H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Тогда вероятность события А определятся по формуле полной вероятности:

P(A) = P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) +...+ P(Hn).P(A/Hn), или

n
P(A)= P(Hi )P(A/ Hi )	(8.4.1)

i 1

где события H1,H2, ..., Hn, – гипотезы, а P(A/Hi) – условная вероятность наступления события A при наступлении i-ой гипотезы (1=1, 2,..., n).

Условная вероятность гипотезы Hi; при условии того, что событие A произошло, определяется по формуле вероятности гипотез или формуле Байеса (она позволяет пересмотреть вероятности гипотез после наступления события A):

		894
	P(Hi / A)	P(Hi ) P(A/ Hi )	(8.4.2)
		P(A)

где P(A) определяется по формуле полной вероятности.

Пример 1. Путешественник двигался из пункта A0 в пункт A4. Равновероятным является выбор любого из трех путей в пункты A1, A2, A3 (рис. 8.4.1). Из пункта A1 в пункт A4 ведет один из четырех путей, из пункта A2 в пункт A4

– один из трех путей, из пункта A3 в пункт A4 – один из двух путей. Найти вероятность того, что путешественник, выбирая путь наугад, придет в пункт A4.

Решение. Выдвигаем три гипотезы:

H1 – путешественник выбрал первую дорогу, H2 – выбрана вторая дорога,

H3 – выбрана третья дорога.

Событие A – путешественник придет в пункт A4. Выбор любой из трех дорог равновозможен, поэтому

P(H1) = P(H2) = P(H3) = 13.

A0

A1

A3

A2

A4

Рис.8.4.1. Иллюстрация к примеру 1.

Условные вероятности события А при наступлении одной из гипотез соответственно равны

P(A/H1) =	1 ;	P(A/H2) =						1	;			P(A/H3) =	1 .
	4							3					2
По формуле полной вероятности находим:
	P(A)		1		1		1		1			13
			3		4		3		2			36

895

Пример 2. Прибор может работать в трех режимах: нормальном, форсированном и недогруженном. Нормальный режим наблюдается в 60% случаев работы прибора, форсированный – в 30% и недогруженный в 10%. Надежность прибора для нормального режима равна 0,8, для форсированного 0,5, для недогруженного 0,9. Найти полную надежность прибора.

Решение. A – безотказная работа прибора (надежность).

Событие A может произойти одновременно с одним из следующих событий (гипотез):

H1 – нормальный режим,

H2 – форсированный режим,

H3 – недогруженный режим. Тогда

P(H1) = 0,6;

P(H2) = 0,3;

P(H3) = 0,1. P(A/H1) = 0,8; P(A/H2) = 0,5; P(A/H3) = 0,9.

483

По формуле полной вероятности

P(A) = 0,6·0,8 + 0,3· 0,5 + 0,1·0,9 = 0,72.

Пример 3. Путешественник пришел из пункта A0 в пункт A4 (рис. 8.4.1). Найти вероятности того, что он двигался по первому и по третьему пути.

Решение. Вероятности гипотез до опыта

P(H1)=P(H2)=P(H3)= 13 .

Условные вероятности события A:

P(A/H1)= 14 ; P(A/H2)= 13 ; P(A/H3)= 12 ,

полная вероятность P(A)= 1336 . Применяя формулу Бейеса, находим условные вероятности гипотез

P(H		1	/ A)			P(H1) P(A/ H1)							3			;
						P(A)						13
								1				1
P(H2	/ A)				P(H2 ) P(A/ H2 )			3				3						4	;
						P(A)					13							3
											36
				P(H3 ) P(A/ H3 )				1				1						6
P(H3	/ A)							3				2							.
						P(A)		13									13

36

Таким образом, если путешественник пришел в пункт A4, то наиболее вероятно, что он шел по третьему пути, т.к. возможностей ошибиться здесь меньше.

Пример 4. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 – с оптическим прицелом. Вероятность поразить мишень из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95, без оптического прицела – 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее, стрелок попал из винтовки с оптическим прицелом или без него?

Решение. Гипотезы: H1 – взята винтовка с оптическим прицелом. H2 – без оптического прицела. Событие A – стрелок попал в мишень.

Вероятности гипотез до опыта:

P(H1)=0,4, P(H2)=0,6.

Условные вероятности события А:

P(A/H1)=0,95, P(A/H2)=0,8.

По формуле полной вероятности

P(A)= 0,4·0,95+0,6·0,8=0,86.

Вероятности гипотез после опыта найдем по формуле Бейеса

484

P(H	1	/ A) P(H1) P(A/ H1) 0,4 0,95					19 ;
			P(A)			0,86		43
P(H2		/ A)	P(H2 ) P(A/ H2 )			0,6 0,8		24 .
			P(A)			0,86		43

Если стрелок поразил мишень, то вероятнее, что он стрелял из винтовки без оптического прицела, т.к. таких винтовок было больше.

Пример 5. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1, легковая – 0,2. К бензоколонке подъехала заправляться машина. Какова вероятность того, что это грузовая?

Решение. Событие A – заправляется любая машина. H1 – заправляется грузовая машина,

Р(H1)=3/5=0,6;

H2 – заправляется легковая,

Р(Н2)=2/5=0,4.

P(A/H1)=0,1,

P(A/H2)=0,2.

Условная вероятность первой гипотезы равна

P(H / A)		0,6 0,1	3 .
1	0,6	0,1 0,4 0,2	7

8.4.3. Формула Бернулли

Пусть некоторый опыт повторяется в неизменных условиях n раз, причём каждый раз может либо наступить (успех), либо не наступить (неудача) некоторое событие A, где P(A) = p – вероятность успеха, P(A ) = 1– p=q – вероятность неудачи. Тогда вероятность того, что в k случаях из n произойдёт событие A вычисляется по формуле Бернулли

P ( k ) C k pk qn k		(8.4.3)
n	n

Условия, приводящие к формуле Бернулли, называются схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли. Так как вероятности Pn(k) для различных значений к представляют собой слагаемые в разложении бинома Ньютона

p q n Cn0 p0 qn Cn1 p1 qn 1 ... Cnk pk qn k ... Cnn pn q0

то распределение вероятностей Pn(k), где 0 k n называется биномиальным. При решении задач на использование формулы Бернулли часто приме-

няют следующие формулы.

Вероятность наступления события A: а) менее k раз

Pn(0)+Pn(1)+…+Pn(k-1);

485

б) более k раз

Pn(k+1)+Pn(k+2)+…+Pn(n);

в) не менее k раз

Pn(k)+ Pn(k+1)+…+ Pn(n);

г) не более k раз

Pn(0)+ Pn(1)+…+ Pn(k);

д) хотя бы один раз

1– Pn(0).

Пример 1. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен) три партии из четырех или пять из восьми?

Решение. Так как противники равносильны, то вероятность успеха (выиграть партию) равна p 12 , вероятность неудачи q 1 12 12 . По формуле Бернулли находим

	P (3) C3				1		3				1		1	4 3 2		1		4		4			0,25 ;
	4		4		2						2			1 2 3		2				16
P (5) C5			1	5				1		3		8		7 6 5 4				1	8				7	0,218 .
8	8		2					2					1	2 3 4 5				2				32

Следовательно, выигрыш трех партий из четырех вероятнее, чем пять партий из восьми.

Приме 2. Всхожесть семян данного сорта оценена вероятностью р=0,8. Каковы вероятности того, что из 5 семян войдет: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Решение. Число опытов равно 5, опыты независимые. Вероятность появления события А (взошло семя) в каждом опыте одинакова и равна p=0,8, вероятность противоположного события q=0,2.

Следовательно, можно воспользоваться формулой Бернулли. m 0, P5 0 C50 p0q5 1 0,8 0 0,2 5 0,00032

m 1, P5 1 C51 p1q4 5 0,8 1 0,2 4 0,0064 m 2, P5 2 C52 p2q3 10 0,8 2 0,2 3 0,0512 m 3, P5 3 C53 p3q2 10 0,8 3 0,2 2 0,2084 m 4, P5 4 C54 p4q1 5 0,8 4 0,2 1 0,4096

m 5, P5 5 C55 p5q0 1 0,8 5 0,2 0 0,328

Из примера 2 следует, что вероятность Pn(m) для данного n с увеличением m от 0 до 5 сначала возрастает, а затем уменьшается. Число m0, при котором Pn(m) имеет наибольшее значение, называется наивероятнейшим числом наступления успеха в n опытах. В приведенном примере m0 = 4. Наивероятнейшее число можно найти из неравенства

np q m0 np p .

486

Пример 3. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если общее их число равно 7.

Решение. Вероятность успеха в одном опыте p 23 , неудачи q 13 , n=7.

Наивероятнейшее число удачных опытов m0 найдем из неравенства

7 23 13 m0 7 23 23 ; 4 13 m0 513 ;

m0 5.

Формулой Бернулли удобно пользоваться в том случае, когда число опытов n 10. При большом числе опытов по схеме Бернулли удобнее пользоваться приближенными формулами.

8.4.4. Приближенные формулы в схеме Бернулли

Рассмотрим три предельные теоремы, содержащие асимптотические формулы для вычисления вероятности Pn k при n .

Теорема 1. Если число испытаний неограничено увеличивается ( n ) и вероятность p наступления события A в каждом испытании неограничено уменьшается ( p 0 ), но так, что их произведение np является по-

стоянной величиной (np=λ=const), то вероятность Рn(k) удовлетворяет предельному равенству

lim	P	k	k	e	(8.4.4)
n	n		k!

Выражение (8.4.4) называется асимптотической формулой Пуассона.

Из предельного равенства (8.4.4) при больших n и малых р вытекает приближенная формула Пуассона

P k k		e , np	(8.4.5)
n	k!

Формулу (8.4.5) применяют, когда вероятность р = const успеха крайне мала, т. е. сам по себе успех (появление события А) является редким событием (например, выигрыш автомобиля по лотерейному билету), но количество испытаний n велико, среднее число успехов nр=λ незначительно. Приближенную формулу (8.4.5) обычно используют, когда n≥50, а nр≤10.

Формула Пуассона находит применение в теории массового обслужи-

вания.

Пример 1. Завод «Золотая балка» (Крым) отправил в Москву 1500 изделий. Вероятность того, что в пути одно изделие может разбиться, равна

487

0,002. Найти вероятность того, что в пути будет разбито не более 4-х изделий (событие А).

Решение. Искомая вероятность равна

P1500 0 P1500 1 P1500 2 P1500 3 P1500 4

Так как n = 1500, p = 0,002, то λ=np=3. Вероятность события А найдем, используя формулу Пуассона (2):

P A

30

e 3

31 e 3

32

e 3

33 e 3

34

e 3

0,815

0!

1!

2!

3!

4!

В тех случаях,

когда число испытаний n велико, а вероятность р не

близка к нулю (p≠0, p≠1), для вычисления биномиальных вероятностей используют теоремы Муавра-Лапласа

Теорема 2. (Локальная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность

р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность Рn(k) может быть вычислена по приближенной формуле

x 2

P k

1

1

e

, где x k np

2

n

npq

2

npq

Равенство (8.4.6) тем точнее, чем больше n.

Выражение

x 2

1

e

x

2

2

называется функцией Гаусса, а ее график — кривой вероятностей

8.4.2).

Равенство (8.4.6) можно переписать в виде

P k	1	x , где x k np
n	npq	npq

(8.4.6)

(8.4.7) (рис.

(8.4.8)

Рис. 8.4.2

Для функции φ(x) составлены таблицы значений. Пользуясь таблицей, следует учитывать, что:

а) функция φ(x) четная, т.е. x x ;

488

б) при x ≥ 4 можно считать, что x 0 .

Локальная теорема Муавра-Лапласа применяется в тех случаях когда np 10 .

Пример 2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,7. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 160 раз.

Решение. Здесь n=200, р=0,7, q=0,3, k=160. Так как np 140 100 , при-

	меним формулу (8.4.4.5). Имеем: npq			200 0,7 0,3		42 6,48,
	следовательно,	x 160 200 0,7		20	3,09	Учитывая,	что
				6,48
		42
	3,09 0,0034, получаем

P200 160 6,148 0,0034 0,0005 .

В тех случаях, когда требуется вычислить вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится не менее k1 раз, но не более k2 раз, т.е. Pn k1 k k2 , используют интегральную теорему Муавра-Лапласа

(является частным случаем более общей теоремы — центральной предельной теоремы).

Теорема 3. (Интегральная теорема Муавра-Лапласа). Если вероят-

ность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn k1 k k2 может быть найдена по при-

ближенной формуле

					2
P	k	k k	2		1	x2 e t2 dt , где	x	k1 np		,	x	2	k2 np	(8.4.9)
n	1				2 x		1		npq				npq
					1

Равенство (8.4.9) тем точнее, чем больше n.

Используя функцию Гаусса (8.4.7), равенство (8.4.9) можно записать в

виде

x2

Pn k1,k2 t dt .

x1

Однако для упрощения вычислений, при использовании формулы (8.4.9), вводят специальную функцию

2

0 x	2		t2
	1	x e		dt ,	(8.4.10)

0

называемую нормированной функцией Лаnласа.

Функция (8.4.10) нечетна ( 0 x 0 x ); при x 5 можно считать, что 0 x 0,5 ; график функции 0 x приведен на рис. 8.4.3.

489

Рис. 8.4.4.3

Равенство (8.4.7) принимает вид													k1 np , x		k2 np
P	k	k k	2		0	x	2		0	x	, где	x		2		(8.4.11)
n	1									1		1	npq		npq

Эту формулу обычно используют на практике.

Наряду с нормированной функцией Лапласа (8.4.10) используют функ-

цию

	1	x	t 2
x		e	2 dt		(8.4.12)
	2
называемую, также функцией Лапласа. Она связана с функцией 0 x фор-
мулой
0 x 0,5 x					(8.4.13)
Имеются таблицы приближенных значений функций				0 x	и x

(интеграл не берется в элементарных функциях), которые приводятся в большинстве учебников по теории вероятностей.

Приближенную формулу для вычисления вероятности Pn k1 k k2

можно записать так же в виде

Pn k1 k k2 x2 x1 , где x1 k1 np , x2 k2 np (8.4.14) npq npq

Пример 3. Проверкой установлено, что цех в среднем выпускает 96% продукции высшего сорта. На базе приемщик проверяет 200 изделий этого цеха. Если среди них окажется более 10 изделий не высшего сорта, то вся партия изделий бракуется, т. е. возвращается в цех. Какова вероятность того,

что партия будет принята?	p 0,04(вероятность негодного изделия),
Решение. Здесь n 200,

q 0,96 .		Вероятность принятия всей партии, т.е. P200 0 k 10 , можно най-
ти	по	формуле		(8.4.14),	k1 0 ,	k2 10 .				Находим,	что
x	0 200 0,04		2,89 ,			x	2		10 200 0,04		0,72,
1	200 0,04 0,96								200	0,04 0,96
P200 0 k 10 0 0,72 0 2,89 0,26424 0,49807 0,7623.