Методичка теория вероятности с типовыми заданиями (Силкин)

490

Замечание. С помощью функции Лапласа можно найти вероятность отклонения относительной частоты mn от вероятности р в n независимых испытаниях. Имеет место формула

		m
P			p
		n				2 0

где ε>0.

n

,

pq

Пример 4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что при n = 1200 независимых выстрелах отклонение относительной частоты от вероятности по модулю не превышает ε =

0,05.

Решение.

			m							1200		2 0 3,54 0,9996.
P1200				p
			n				2 0	0,05
										0,6 0,4

491

ЛЕКЦИЯ 8.5. ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ. СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

8.5.1. Случайные величины. Способы задания

8.5.1.1. Определение случайные величины

Величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение, какое именно, неизвестно, называется случайной вели-

чиной (СВ).

Приведем примеры случайных величин:

–число выпавших очков, при бросании игральной кости;

–число появлений события A в n испытаниях по схеме Бернулли;

–число, равное времени безотказной работы двигателя определенной

марки;

–ошибка измерений.

Случайную величину можно рассматривать, как совокупность случайных чисел, причем каждое число ставится в соответствие элементарному ис-

ходу. Иными словами, случайная величина есть числовая функция, заданная на пространстве элементарных исходов.

Случайные величины обозначают большими буквами латинского алфавита X, Y, Z,…, а их возможные значения маленькими x, y, z,… (последние откладываются на числовой оси). Все случайные величины делят на два больших класса: дискретные и непрерывные.

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется такая величина,

возможные значения которой представляют собой счетное множество, конечное или бесконечное (на числовой оси – это отдельные изолированные точки).

Так, число очков, выпадающие при бросании игральной кости, число появлений события A в n испытаниях, число дефектных деталей в различных партиях являются дискретными случайными величинами.

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется такая случайная величина, возможные значения которой представляют собой несчетное множество, т.е. полностью заполняют некоторый интервал, конечный или бесконечный.

492

Примерами непрерывных случайных величин являются:

–время безотказной работы двигателя;

–погрешность измерений;

–отклонение по дальности от цели при стрельбе из орудия.

Одной из основных характеристик случайной величины является ее закон распределения.

Законом распределения называют любое правило, позволяющее находить либо вероятности отдельных значений дискретных СВ., либо вероятность попадания в любой заданный интервал для непрерывных СВ.

8.5.1.2. Способы задания дискретной случайной величины

Пусть X – дискретная случайная величина, которая принимает значения x1, x2,..., xn с некоторой вероятностью pi. Где i=1, 2, …, n, … Тогда можно говорить о вероятности того, что случайная величина X приняла значение xi: pi P(X xi ) . Закон распределения дискретной случайной величи-

ны X удобно записывать в виде таблицы (табл. 8.5.1), где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины x1, x2,..., xn и вероятности их появления pi :

				Таблица 8.5.1
xi	x1	x2	…	xi
pi	p1	p2	…	pi
В нижней	строке таблицы pi P X xi , основное свойство таблицы
		n
		pi 1.
		i 1

Такой способ задания ДСВ называют рядом распределения.

Закон распределения можно изобразить графически. Для этого рассмотрим совокупность пар (x1, p1), (x2, p2), …, (xn, pn). Нанесем точки с этими координатами на плоскость и соединим их поочередно отрезками

прямых линий. Полученная фигура называется многоугольником рас-

пределения (рис. 8.5.1.)

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), определяющая для каждого аргумента x вероятность того, что случайная величина X принимает значения меньшие чем x, т.е. F(x) = P(X < x). Это вероятность того, что случайная величина X попала в интервал (–∞, x).

Для дискретных случайных величин функция распределения F(x) есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.

Пример 1.Пусть задана дискретная случайная величина своим законом распределения (табл. 8.5.2). По закону распределения записать функцию рас-

493

пределения, по строить график функции распределения, построить многоугольник распределения.

Таблица 8.5.2

xi	1	4	8
pi	0,3	0,1	0,6

pi

x1	x2	x3	x4	x

Рисунок 8.5.1. Многоугольник распределения.

Решение.Найдем для нее функцию распределения. Это будет функция, заданная следующим предписанием:

0, x 1,

0,3, 1 x 4,

F x

0,4, 4 x 8,1, x 8.

Построим график функции распределения (рис. 8.5.2)

1

0,4

0,3

1		4		8

Рисунок 8.5.2.

Над случайными величинами устанавливаются операции сложения и умножения.

494

1.Суммой двух случайных величин X и У называется случайная величина, которая получается в результате сложения всех значений случайной величины X и всех значений случайной величины Y, соответствующие вероятности перемножаются.

2.Произведением двух случайных величин X и Y называется случайная величина, которая получается в результате перемножения всех значений случайной величины X и всех значений случайной величины Y, соответствующие вероятности перемножается.

Одинаковые значения СВ можно записать один раз, предварительно сложив соответствующие вероятности :

Пример 2. Заданы законы распределения случайных величин X и Y (табл. 8.5.3 и табл. 8.5.4). Построить ряд распределения случайной величины:

X+Y; X·Y.

X	–1	0	1
pi	0,2	0,3	0,5

Таблица 8.5.3

Таблица 8.5.4

Y	–1	1	2
pi	0,1	0,3	0,6

Решение. Находим сумму всех значений СВX со всеми значениями СВY. Соответствующие вероятности перемножаем.

Полученную совокупность возможных значений величины X+Y необходимо упорядочить по возрастанию. Если среди получившейся совокупности значений есть одинаковые, то в таблице оставляем только разные, а соответствующие вероятности суммируем. Результат записываем в таблицу 8.5.5 Таблица 8.5.5.

X+Y	–2	–1	0	1	2	3
pi	0,02	0,03	0,11	0,21	0,33	0,3

Аналогично находим произведение случайных величин (табл. 8.5.6). Таблица 8.5.6

X·Y	–2	–1	0	1	2
pi	0,12	0,11	0,3	0,17	0,3

8.5.1.3. Способы задания непрерывной случайной величины

Интегральной функцией распределения случайной величины X назы-

вается функция F(x), определяющая для каждого аргумента x вероятность того, что случайная величина X принимает значения меньшие чем x, т.е. F(x) = P(X < x). Это вероятность того, что случайная величина X попала в интервал

(–∞, x).

Свойства интегральной функции распределения:

1.F(x) не убывает (если x2 x1, то F(x2 ) F(x1));

2.F 0 ;

3.F 0 ;

495

4. вероятность попадания СВ X в интервале a<X<b определяется по формуле

P a X b F b F a .

Обычно для определенности левую границу включают в интервал, а правую нет. Вообще для НСВ верно, что

P a X b P a X b P a X b P a X b .

Плотностью распределения (дифференциальной функцией распределения) непрерывной случайной величины X называется первая производная от интегральной функции распределения, т.е. функция f (x) F'(x) .

Рассмотрим свойства дифференциальной функции распределения. Вопервых, плотность распределения любой случайной величины неотрицатель-

на, т.е. f(х) 0. Во-вторых,	f (x)dx 1.

График плотности f(x) называется кривой распределения. Второе свойство говорит о том, что площадь фигуры, образованной осью OX и кривой распределения (не всегда замкнутой) равна единице. То есть, не всякую функцию можно рассматривать в качестве функции плотности некоторой случайной величины.

Функция распределения F(x) выражается через плотность распределе-

x

ния формулой F(x) f (x)dx. Вероятность попадания на участок от до

для непрерывной случайной величины выражается формулой

P( X ) f (x)dx . Это площадь криволинейной трапеции с границами

x= , x= , y=0, y=f(x).

8.5.2. Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Но он не всегда известен. Существуют некоторые числовые характеристики, описывающие случайную величину суммарно. Прежде всего, это характеристики положения: математическое ожидание, медиана, мода; характеристики положения: дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Математическим ожиданием случайной величины Х называется ее

n

среднее значение, вычисляемое по формулам: M[X ] xi pi – для дискретной

i 1

случайной величины;

ны. В случае, когда

M[X]=mx или Mx.

M[X ] xf (x)dx – для непрерывной случайной величи-

M[X] надо обозначить одной буквой, будем писать

496

Модой M0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум

f (M 0 ) max.

Медианой Me случайной величины X называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

P(X M e ) P(X M e )

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

Рассмотрим свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

1.Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой, т.е.

M[C] = C.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического

ожидания, т.е. M[C X] = C M[X].

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

M[X Y]=M[X] M[Y].

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.

M[X+Y] = M[X] + M[Y].

Свойства 3 и 4 обобщаются на случай нескольких случайных величин. Знание математического ожидания случайной величины еще полностью не характеризует эту случайную величину. По этому числу нельзя еще судить ни о возможных значениях случайной величины, ни о том, как эти

значения рассеяны вокруг математического ожидания.

Пример 3.

Заданы две случайные величины X и Y (табл 8.5.7 и табл.8.5.8) Таблица 8.5.7

X	–0,01	0,01
P	0,5	0,5	Таблица 8.5.8
Y	–100	100
P	0,5	0,5

Найти их математические ожидания.

Решение.

M[X]= –0,01 0,5+ 0,01 0,5=0;

M[Y]= –100 0,5+100 0,5=0.

Как видно из примера, случайные величины имеют разные возможные значения, но одинаковые математические ожидания, причем случайная вели-

чина X имеет возможные значения близкие к M[X], а случайная величина Y

497

далекие. Здесь налицо малое и большое рассеяние возможных значений вокруг среднего. Для оценки величины рассеяния используют новую числовую характеристику дисперсию дискретной случайной величины.

Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D[X]=M[X–M[X]]2.

n

Дисперсию ДСВ вычисляют по формуле D X (xi mx )2 pi .

						i 1
Для непрерывной случайной величины D X (x mx )2 f (x)dx .
Пример 4. Найти дисперсию случайной величины X, заданную сле-
дующим законом распределения (табл. 8.5.9):						Таблица 8.5.9
	X	1	2		5
	P	0,3	0,5		0,2
Решение.

M[X]= 1 0,3+ 2 0,5+ 5 0,2=2,3; (x1 – M[X])2=(1–2,3)2=1,69; (x2 – M[X])2=(2–2,3)2=0,09; (x3 – M[X])2=(5–2,3)2=7,29;

D[X]=1,69 0,3+0,09 0,5+7,29 0,2=2,01.

Более простая формула для вычисления дисперсии имеет вид: D[X]=M[X2]–(M[X])2. Поясним ее применение на предыдущем примере. Для ее использования необходимо составить закон распределения случайной величины X2(табл. 8.5.10):

Таблица 8.5.10

X2	1	4	25
P	0,3	0,5	0,2

M[X2]= 1 0,3 + 4 0,5 + 25 0,2 = 7,3;

D[X]=7,3–(2,3)2=2,01.

Использование этой формулы существенно сокращает число арифметических действий.

Дисперсия D[X] кратко обозначается Dx. Рассмотрим свойства диспер-

сии дискретной случайной величины.

1.Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. D[C] = 0.

2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. D[C X] = C2 D[X].

3.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. D[X+Y] = D[X] + D[Y].

4.Дисперсия суммы постоянной величины и случайной величины равна дисперсии случайной величины, т.е. сдвиг возможных значений случайной величины не изменяет рассеяния:

498

D[C+X] = D[X].

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. D[X–Y] = D[X] + D[Y].

Недостатком дисперсии является то, что она имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Если это существенно в эксперименте, то используют другую числовую характеристику, среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X назы-

вается корень квадратный из дисперсии x Dx .

8.5.3. Моменты

Кроме характеристик положения и рассеяния существует ряд других числовых характеристик распределения, например, моменты.

Начальным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины Xk: k M[X k ].

Для дискретной случайной величины:

n

k xik pi . i 1

Для непрерывной случайной величины:

k xk f (x)dx .

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию. Центральным моментом порядка k случайной величины X называет-

ся математическое ожидание величины (X mx )k :

k M[(X mx )k ]

Для дискретной случайной величины:

n

k (xi mx )k pi . i 1

Для непрерывной случайной величины:

k (x mx )k f (x)dx .

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.

Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии.

499

A 3

3x

Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом.

Cx 4 34x

8.5.4. Законы распределения случайных величин

Перечислим далее основные законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин.

8.5.4.1. Законы распределения дискретных случайных величин

8.5.4.1.1. Биноминальное распределение

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью p в каждом из испытаний, то вероятность того, что событие не появится, равна q = 1 – p.

Примем число появлений события в каждом из испытаний за некоторую случайную величину X.

Чтобы найти закон распределения этой случайной величины, необходимо определить значения этой величины и их вероятности.

Значения найти достаточно просто. Очевидно, что в результате n испытаний событие может не появиться вовсе, появиться один раз, два раза, три и т.д. до n раз.

Вероятность каждого значения этой случайной величины можно найти по формуле Бернулли.

P	(k) C k pk qn k ,	k 0,1,2,...
n	n

Эта формула аналитически выражает искомый закон распределения. Этот закон распределения называется биноминальным.

Пример 1. В партии 10% нестандартных деталей. Наугад отобраны 4 детали. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и построить многоугольник полученного распределения.

Решение. Вероятность появления нестандартной детали в каждом случае равна 0,1.

Найдем вероятности того, что среди отобранных деталей: 1. Вообще нет нестандартных

P4 (0) 0!4!4!0,10 0,94 0,6561.