Методичка теория вероятности с типовыми заданиями (Силкин)

540

ЛЕКЦИЯ 9.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ГОРНОГЕОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

9.2.1. Общий подход к составлению математической модели

Использование методов высшей математики в решении прикладных задач химии, физики, биологии и других наук позволяет получить результаты, достижение которых иными способами часто оказывается трудным или невозможным.

Для того, чтобы построить математическую модель реального процесса, представленного в виде прикладной задачи, необходимо уметь грамотно выполнять математический анализ этой задачи, который состоит из трех этапов:

1)перевод условий задачи на язык математики;

2)решение полученной математической задачи;

3)оценка и интерпретация результатов.

9.2.2. Решение одной технической задачи

Впункте 1.4.5. лекции 1.4. раздела 1. было рассмотрено решение системы линейных уравнений, полученных в результате построения математической модели следующей задачи.

Задача. На потолок выработки давит своим весом объем породы, поперечное сечение которого ограничено параболой с высотой b . Определить силы, сжимающие стойки так называемого оклада, при помощи которой производится крепление выработки, если ширина выработки в верхней части AB 2a , расстояние между окладами вдоль выработки равно l , плотность пород ρ и стойки наклонены под углом α к горизонту.

Внастоящем разделе мы более подробно остановимся на принципах построения математической модели этой задачи.

Решение. Изобразим все интересующие нас силы на чертеже в разрезе

(рис. 9.2.1).

Ox

A		B
s1	P	s2

Oy

Рис. 9.2.1

541

Здесь P – вес объема породы, расположенного над потолочной балкой; S1, S2 – силы давления, действующие на опоры.

Так как система находится в равновесии,

S1 S2 P .

Запишем это уравнение в координатной форме. Для этого воспользуемся формулой (1.6.4) проекции вектора на ось из пункта 1.6.1 лекции 1.6 раздела 1.

Проектируем силы на ось Ox :

ПрOx

S1 cosα, ПрOx

S2 cosα, ПрOx

0 .

S1

S2

P

Таким образом, получаем уравнение

S1 cosα S2 cosα 0

(9.2.1.)

Рассмотрим силы на ось Oy :

ПрOy

S1 sin α, ПрOx

S2 sin α, ПрOx

P .

S1

S2

P

Получаем уравнение

S1 sin α S2 sin α=P .

(9.2.2)

Объединяем уравнения (9.2.1) и (9.2.2) в систему линейных уравнений

S1 cosα S2 cosα 0 .S1 sin α S2 sin α P

И решаем ее любым из методов, предложенных в лекции 1.4. раздела 1. Решение данной системы методом Крамера представлено в пункте 1.4.5. лекции 1.4. раздела 1., поэтому здесь мы приведем лишь результат:

S	S	2		Pcos		P	.
1				2cos sin		2sin
Осталось найти величину P . Из физики известно, что									mg , где m –
								P

масса указанного объема породы, а g – ускорение свободного падения. В свою очередь, m Vρ, где V – объем породы, а ρ – ее плотность.

Составим уравнение параболы, ограничивающей в поперечном сечении наш объем породы. Каноническое уравнение параболы было представлено в пункте 1.10.5. лекции 10. раздела 1. Из чертежа (рис. 9.2.1) видно, что ее

вершина находится в точке 0,0 , ось параллельна оси Oy , а «ветви» направлены «вверх» (в смысле направления оси) и проходят через точки a,b и

a,b . Такая парабола задается уравнением
y	b		x	2	.	(9.2.3)
	a2
						y px2 , если
Это уравнение получается из канонического уравнения

вместо x и y подставить координаты точки a,b и выразить параметр p .

542

Интересующий нас объем породы V – объем параболоида, полученного вращением вокруг оси Oy параболы (9.2.3) и ограниченного плоскостью

y b . Его можно найти различными способами: с помощью определенного,

двойного или тройного интеграла, подробно этот вопрос рассматривается в пункте 3.11.3. лекции 3.11. раздела 3. Вычислим это объем при помощи оп-

ределенного интеграла. Перепишем уравнение (9.2.3) в виде x2 yab2 и под-

ставим значение x2 в формулу

b

V π x2dy

b

0

ya2

dy πa2 y2

| b

a2b2

πa2b .

Получим V

π

π

b

2b

0

2b

0

2

a2bg .

Итого, S S

2

P

mg

1

2sin

2sin

4sin

Задача решена.

Подведем итоги. Мы построили математическую модель несложной прикладной задачи из горного дела. В результате мы получили очень простую систему, состоящую из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которую можно решить исключительно средствами, рассмотренными в главе 1, то есть методами линейной алгебры. Но для составления этой системы нам пришлось воспользоваться обширнейшим инструментарием, представленным в первых трех разделах настоящего конспекта лекций.

9.2.3. Моделирование процессов при помощи дифференциальных уравнений

При изучении технических процессов не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающими тот или иной процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) и скоростями их изменения относительно других (независимых) переменных величин, то есть найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Такие уравнения называются дифференциальными и были нами рассмотрены в разделе

4.

Опишем характер задач, приводящих к решению дифференциальных уравнений. Пусть происходит некоторый процесс, например физический, химический или биологический, и нас интересует определенная функциональная характеристика этого процесса, например закон изменения со временем температуры, давления, массы или положения тела в пространстве. Если мы обладаем достаточно полной информацией о течении этого процесса, то

543

можно построить его математическую модель. Во многих случаях такой моделью служит дифференциальное уравнение, решением которого является искомая функциональная характеристика процесса. Дифференциальное уравнение моделирует процесс в том смысле, что оно описывает эволюцию процесса, характер изменений, происходящих с материальной системой, и возможные варианты этих изменений в зависимости от первоначального состояния системы

Но составить дифференциальное уравнение, описывающее изучаемый процесс, часто оказывается сложнее, чем решить его. Универсального метода составления математических моделей подобного рода не существует, поэтому можно дать лишь общие рекомендации.

Чтобы составить дифференциальное уравнение, необходимо выяснить, какой смысл производной используется в условии задачи.

В пункте 2.7.2. лекции 2.7. раздела 2. дается понятие геометрического и

физического смысла производной.		значение производной y x0 равно
С геометрической точки зрения,
угловому	коэффициенту касательной,	проведенной к графику функции
y f x	в точке с абсциссой x0 . Это так называемый геометрический смысл

производной.

С физико-механической точки зрения производная от функции – это скорость изменения одной физической величины в зависимости от изменения другой.

Если в условии задачи трудно усмотреть геометрический и физический смысл производной, то можно попытаться составить отношение приращений величин (функции и аргумента, описывающих процесс), то есть использовать определение производной:

Производной функции одной переменной y f x в точке x называ-

ется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в

этой точке, при стремлении к нулю приращения аргумента, когда последнее
произвольным образом стремится к нулю, то есть y	lim	f x x f x	.
	x 0	x

Далее можно придерживаться следующего порядка действий.

1.Определить, какую из величин принять за независимую переменную

x, а какую – за искомую y f x . (При решении многих задач механики,

физики, горного дела и электромеханики в роли независимой переменной выступает переменная t ).

2.Установить физический или геометрический смысл функции и ее производных.

3.На основании известных законов физики, механики, электротехники

идругих установить зависимость между аргументом, функцией и ее производными, то есть составить дифференциальное уравнение

4.Определить тип полученного уравнения и метод его решения.

544

5. Решить полученное дифференциальное уравнение.

6. Если в задаче указаны начальные условия, то найти частное решение уравнения.

Рассмотрим решение задачи горно-геологического профиля, приводящей к дифференциальному уравнению второго порядка.

Задача. При движении клети в стволе очень глубокой шахты сила тяжести пропорциональна расстоянию от центра Земли. Найти время t в течении которого тело пройдет заданный путь x , если движение начинается с поверхности земли без начальной скорости. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Выберем ось Ox вдоль ствола шахты и направим ее вертикально вниз. Начало координат свяжем с устьем ствола.

Тогда уравнение движения клети в проекции на ось Ox имеет вид: mx G k R x ,

где R – радиус Земли; R x – расстояние от клети до центра Земли; k – коэффициент пропорциональности k mgR ; g – ускорение свободного

падения.

Подставляем в уравнение коэффициент k , получим: mx mgR R x .

Делим обе части уравнения на m
x	g	R x .	(9.2.4)
	R
Получили дифференциальное уравнение второго порядка,			не содер-

жащее независимой переменной, и тем самым, допускающее понижение порядка. Более подробно такие уравнения разобраны в пункте 4.5.3. лекции 4.5. раздела 4.

Воспользуемся заменой переменных, введем новую искомую функцию по формуле z x x , тогда уравнение (9.2.4) примет вид:

z Rg R x

Это уравнение с разделяющимися переменными. Запишем его в дифференциалах

dxdz Rg R x

и разделим переменные:

dz Rg R x dx .

После интегрирования этого уравнения получим:

545

z2

gx

g

x2 C .

(9.2.5)

2

2R

1

Из начальных условий: x0 x0 0

при t 0, найдем C1

0. Подставим

в (9.2.5) и выразим z , получим уравнение

z

2gx

g

x

2

.

R

Произведем обратную замену переменных и получим уравнение

g

2

2gx R x

.

x

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. За-

пишем его в дифференциалах

dx

2gx

g

x

2

и разделим переменные:

dt

R

dx

dt .

2gx

g

x2

R

После интегрирования и проверки начальных условий получим

t

R

arccos

x

R

.

g

R

Задача решена.

9.2.4. Решение задач горно-геологического профиля средствами теории вероятности и математической статистики

Теория вероятности и математическая статистика очень часто используются при решении технических задач. Но рассмотреть какие-то общие подходы к их решению, как, например, в пункте 9.2.3 в случае дифференциальных уравнений, достаточно сложно, да и не целесообразно. Подобные задачи зачастую заключаются в вычислении тех или иных характеристик случайной величины и построении ее функции распределения (теория вероятности); сборе и группировке статистического материала, а также анализ полученных статистических данных.

Рассмотрим одну из задач горно-геологического направления, связанных с теорией вероятности.

Задача. На руднике, на некотором участке находится в работе в течении смены три отбойных молотка. Вероятность выхода из строя в течении смены для одного отбойного молотка равна 0,2. Составить закон распределения числа отбойных молотков, вышедших из строя в течении смены. Найти

546

его математическое ожидание, дисперсию и построить функцию распределения.

Решение. Рассмотрим случайную величину X – число отбойных молотков, вышедших из строя в течении смены. Возможные значения 0, 1, 2, 3. Вероятности для возможных значений случайной величины будем определять по формуле Бернулли (8.4.3) из пункта 8.4.3. лекции 8.4. раздела 8.

p0 P3 0 C30 p0q3 1 0,2 0 1 0,2 3 0,512;

p1 P3 1 C31 p1q2 3 0,2 0,8 2 0,384 ;

p2 P3 2 C32 p2q 3 0,2 2 0,8 0,096 ;

p3 P3 3 C32 p3q0 1 0,2 3 0,8 0 0,008.

3

Выполним проверку: вычислим pi 0,512 0,384 0,096 0,008 1,

i 0

значит, закон составлен верно.

Запишем закон распределения в виде таблицы (табл. 9.2.1)

Таблица 9.2.1

xi	0	1	2	3
pi	0,512	0,384	0,096	0,008
Для определения математического ожидания M X и дисперсии D X

нам понадобятся формулы из пункта 8.5.2. лекции 8.5. раздела 5.

n

MX xi pi 0 0,512 1 0,384 2 0,096 3 0,008.

i 1

Вычислим вспомогательную величину

n

2

2

pi 0 0,512 1 0,384 4 0,096

9 0,008 0,84

M X

xi

i 1

и дисперсию D X

2

2

0,84 0,6

2

0,48 .

M X

M X

Находим функцию распределения случайной величины X как указано

в пункте.8.5.4. лекции 8.5. раздела 8.

Согласно определению F X

имеем

x 0, P X x P X 0 0 ,

так как случайная величина не может

принимать значение меньше 0;

0 x 1, F x P X x P X 0

0,512 ;

1 x 2, F x P X x P X 0

P X 1 0,512 0,384 0,896;

2 x 3, F x P X x P X 0 P X 1 P X 2

0,512 0,384 0,096 0,992;

3 x , F x P X x P X 0 P X 1 P X 2 P X 3

0,512 0,384 0,096 0,008 1;

547

Построим график функции распределения (рис. 9.2.2).

F(x)

1

0,992

0,896

0,512

0

1

2

3

x

Рисунок 9.2.2

Задача решена.

Следующая прикладная задача связана с математической статистикой. Для ее решения нам понадобится материал лекций 8.6. и 8.7. раздела 8., а также некоторые дополнительные сведения, которые мы приведем далее.

Задача. Исследовалась выработка на одного рабочего-станочника механического цеха в отчетном году в отношении к предыдущему году. Полу-

чены следующие данные (в процентах): 98, 85, 101, 118, 101, 119, 82, 102, 112, 123, 99, 104, 107, 128, 106, 87, 103, 96, 116, 129, 108, 135, 107, 116, 89, 94, 109, 113, 93, 101, 103, 99, 105, 104, 111, 121, 95, 108, 117, 106, 115, 126, 97, 103, 131, 107, 119, 139, 99, 109. Построить интервальный вариационный ряд, гистограмму. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Решение. Признак X – выработка в отчетном году в процентах к предыдущему может принять любое значение в некотором числовом интервале. Такой признак называют непрерывно варьирующим. Составим интервальный вариационный ряд. Определим величину интервала (шаг) по формуле Стерджеса

h	xmax xmin		139 82	8,85 9 .
			1 3,2lg50
1 3,2lg n

Величину интервала определяем с той же точностью, как и исходные данные. Запись интервалов начинаем с xmin до тех пор, пока не войдет xmax .

Для каждого интервала определяем частоту ni – число включений признака,

попадающих в данный интервал. Условимся включать в интервал значения большие или равные нижней границы и меньшие верхней границы интервала. Запишем статистическое распределение признака (интервальный вариационный ряд) (табл. 9.2.2):

Таблица 9.2.2

Интервалы	82-91	91-100	100-109	109-118	118-127	127-135	135-145
Частота ni	4	9	17	9	6	4	1

Построим гистограмму частот (рис. 9.2.3).

548

F(x)
17
9
6
4
1
0	91

109	127
…..
Рисунок 9.2.3

145

x

Для определения числовых характеристик перейдем к дискретному вариационному ряду (табл. 9.2.3):

Таблица 9.2.3

	Середины
	интервалов,	86,5	95,5	104,5	113,5	122,5	131,5	140,5
	xi
	Частота ni	4	9	17	9	6	4	1

По формуле из пункта 8.7.2. лекции 8.7. раздела 8. определяем выборочную среднюю

хср 1 n xini n i 1

86,5 4 95,5 9 104,5 17 113,5 9 122,5 6 131,5 4 140,5 1 50

540550 108,1

То есть средняя выработка на одного рабочего в отчетном году составляет 108,1% по отношению к предыдущему году.

Выборочную дисперсию определяем по формуле

					2
	n	xi xср				7244,64
					ni		144,9
	Dв
	i 1	n				50

Выборочное среднее квадратическое отклонение

σв Dв 144,9 12,03.

549

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.

1.При каких условиях применима простая модель роста популяции?

2.Каков смысл формулы экспоненциального роста? Как зависит поведение популяции от величины коэффициента в показателе экспоненты?

3.К какому типу относится дифференциальное уравнение, описывающее простой рост популяции?

4.При каких условиях применима модель сезонного роста? Как ведет себя популяция, описываемая данной моделью?

5.Какое уравнение называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка? Какие методы применяются для решения таких уравнений?

6.К какому типу дифференциальных уравнений приводит расчет внутривенного питания глюкозой? Что такое равновесное количество глюкозы в крови?

7.При каких условиях модель роста популяции будет моделью логистического роста?

8.Каким типом дифференциальных уравнений описывается модель логистического роста?

9.Как изменяется популяция, подчиняющаяся модели логистического роста, с увеличением времени?

10.В каких случаях для двух видов применима модель межвидовой конкуренции?, модель «хищник-жертва»?, модель симбиоза?

11.Системами каких дифференциальных уравнений описываются эти

модели?

12.В чем заключается метод исключения, применяемый для решения для решения систем, описывающих модели межвидовой конкуренции, «хищ- ник-жертва, симбиоза?

13.В чем заключается математический анализ прикладной задачи? Какие основные его этапы можно выделить? В чем заключается суть каждого из этих этапов?

14.Какие уравнения описывают состояние равновесия физической системы? С помощью каких математических методов можно решать такие уравнения?

15.Приведите примеры задач, которые можно решить при помощи векторного анализа.

16.Как при помощи определенных и кратных интегралов можно вычислить площади плоских фигур и объемы тел различной формы?

17.Какие математические уравнения позволяют описать связь функции

искорости ее изменения?

18.В чем заключается механический, физический и геометрический смысл производной?