Методичка теория вероятности с типовыми заданиями (Силкин)

500

2. Одна нестандартная

P4 (1) 1!43!!0,11 0,93 0,2916 . 3. Две нестандартные детали

P4 (2) 2!4!2!0,12 0,92 0,0486 . 4. Три нестандартные детали

P4 (3) 3!4!1!0,13 0,91 0,0036. 5. Четыре нестандартных детали

P4 (4) 4!4!0!0,14 0,90 0,0001.

Дискретная случайная величина X называется распределенной по биномиальному закону, если ее возможные значения 0, 1, ..., n, а вероятность того, что X=k, выражается формулой

P(X k) P (k)	Ck pk qn k	, где 0<p<1; q=1–p.
n	n
Параметры распределения n и p.
Математическое	ожидание	биномиального закона	распределения
M X np , дисперсия	D X npq , а среднее квадратическое		X npq .

8.5.4.1.2. Распределение Пуассона

Дискретная случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения 0, 1, 2, ... n, ..., а вероятность то-

го, что X=k, выражается формулой P(X k) Pk k e , где λ=np > 0 – па- k!

раметр закона Пуассона.

Если известны числа и k, то значения вероятности можно найти по соответствующим таблицам распределения Пуассона.

Числовые характеристики распределения Пуассона:

M X np ;

D X np

X np .

Таким образом, математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого распределения λ.

8.5.4.2. Законы распределения непрерывных случайных величин

8.5.4.2.1. Равномерное распределение

501

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю.

0,	x a
	a x b
f (x) C,
	x b
0,

Постоянная величина C может быть определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения.

f(x)

	C	1
		b a

0

a

b

x

Рисунок 8.5.3. Функция плотности вероятностей равномерно распределенно случайной величины.

Получаем C

1

.

b a

Найдем функцию распределения F(x) на отрезке [a,b].

x

x

1

x

x

x

a

F(x)

f (x)dx

dx

.

a

b a

b a

a

b a

Таким образом, интегральная функция распределения имеет вид

0,				при	x a
		a
x
F(x)			,	при	a x b
		a
b				при	x b
1,

502

F(x)

1

0	a	b	x

Рисунок 8.5.4. Интегральная функция распределения равномерно распределенной случайной вели-

чины.

Для того, чтобы случайная величина подчинялась закону равномерного распределения необходимо, чтобы ее значения лежали внутри некоторого определенного интервала, и внутри этого интервала значения этой случайной величины были бы равновероятны.

Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения.

mx

b

xf

(x)dx

b

x

dx

x2

b

a b

.

b a

2(b a)

a

2

a

a

b

b

x2

x3

b

b3 a3

b2 ab a

2

mx 2 x2 f (x)dx

dx

.

b a

3(b a)

a

3(b a)

3

a

a

Dx m

x

2

mx2 b2 ab a2

a2 2ab b2

b2 2ab a2

(b a)

3

4

b a

12

12

x

Dx

.

2

3

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:

2

.

		dx		.
	P( X )
		b a
				b a

8.5.4.2.2. Показательное распределение

Показательным (экспоненциальным) называется распределение веро-

ятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью

0,	при	x 0
f (x)	при	x 0
e x ,

		503
где – положительное число.
Найдем закон распределения.
x		0		x
F(x) f (x)dx 0dx e xdx 1 e x .
				0
Интегральная функция распределения:
F	0,		при	x 0
	(x)	e x при			x 0
	1

f(x)

F(x)

1

λ

0		x				x
				0

Рисунок 8.5.5. Графики функции распределения и плотности распределения:

Найдем математическое ожидание случайной величины, подчиненной показательному распределению.

u x;

e xdx dv;

xe

x

e

x

mx xf (x)dx x e

x

dx

dx

e x

dx;

0

0

du

v;

0

e xdx e x

1 .

0

0

Результат получен с использованием того факта, что

xe x

x

По

правилу

1

lim

0

lim

0.

x e x

Лопиталя

x e x

0

Для нахождения дисперсии найдем величину M(X2).

M (X 2 ) x2 f (x)dx x2e xdx

0

Дважды интегрируя по частям, аналогично рассмотренному случаю, получим:

				504
				M (X 2)			2	;
						2
Тогда
									1
			D(X ) M (X 2 ) M (X ) 2							.
									2
	1			1		1 .
Итого: M (X )		;	D(X )		; x
				2

Видно, что в случае показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны.

Также легко определить и вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал.

P(a x b) F(b) F(a) e a e b .

8.5.4.2.3. Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна

	f (x)		1	e
			2

(x m)2 2 2

Параметрами нормального распределения являются m и .

1

2

m

Рисунок 8.5.6. График дифференциальной функции нормального распределения.

График дифференциальной функции нормально распределенной случайной величины X называется нормальной кривой. Этот график симметричен относительно прямой x=m. Точки перегиба x=m . Параметр влияет на высоту пика. Чем больше , тем пик ниже а кривая более пологая и наоборот.

505

Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по

нормальному закону,			в	интервал ( ) выражается формулой
	β m			α m		,
P(α X β) Ф0	σ		Ф0	σ

		1	x e	t2
	где Ф0 (x)			2
		2
			0

dt – табулированная функция Лапласа.

Интегральная функция нормально распределенной случайной величи-

	x m
	ны также представляется через функцию Лапласа F(x) 0,5 Ф0		.
		σ

График интегральной функции распределения F(x) центрально симметричен относительно точки ( m, 0,5 ).

Если параметр m=0, а =1, то случайная величина X называется нормализованной. Для такой случайной величины существуют таблицы со значе-

ниями дифференциальной (x) и интегральной Ф(x) функции распределения протабулированные с шагом 0,01.

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм.

1

0,5

m

Рисунок 8.5.4. График интегральной функции нормального распределения.

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной вели-

чины :

P(

X m

m m

m m

)

2

Если принять = 3 , то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

506

P( X m 3 ) 2 (3) 2 0,49865 0,9973

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Это правило называется правилом трех сигм.

На практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

8.5.5. Предельные теоремы теории вероятностей

При изучении теории вероятностей приходится использовать понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

Однако при неоднократном повторении испытаний могут наблюдаться определенные закономерности. Эти закономерности, свойственные массовым случайным явлениям, и изучает теория вероятностей. Следует отметить, что математические законы теории вероятностей получены в результате абстрагирования реальных ситуаций, в которых наблюдаются случайные массовые явления.

При изучении результатов наблюдений над реальными случайными массовыми явлениями также имеют место некоторые закономерности. Следует обратить внимание на то, что они обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытанийстановятся практически не случайными.

Предельные теоремы вероятностей устанавливают зависимость между случайностью и необходимостью. По смыслу их можно разбить на две группы, одна из которых называется законом больших чисел, а другая — центральной предельной теоремой.

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимают совокупность теорем, в которых утверждается, что существует связь между средним арифметическим достаточно большого числа случайных величин и средним арифметическимих математическихожиданий.

Теорема 1. (Чебышева, закон больших чисел) Пусть X1, X 2 , , X n – последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ко-

507

нечные математические ожидания и дисперсии, ограниченные сверху постоянной C ( D Xi C ). Тогда, для любого ε > 0

n

i

1

n

i

1

X

1

lim P

n i 1

n i 1

M X

ε

n

Теорема показывает, что среднее арифметическое большого числа случайных величин с вероятностью сколь угодно близкой к 1 будет мало отклонятся от среднего арифметического математических ожиданий.

Закон больших чисел не позволяет уменьшить неопределенность в каждом конкретном случае, они утверждают лишь о существовании закономерности при достаточно большом числе опытов.

Другая группа теорем теории вероятностей, которые устанавливают связь между законом распределения суммы случайных величин и его предельной формой – нормальным законом распределения, называется центральной предельной теоремой. Различные формы центральной предельной теоремы отличаются между собой условиями, накладываемыми на сумму рассматриваемых случайных величин. Поскольку несложные условия на практике выполняются очень часто, нормальный закон является самым распространенным среди законов распределения, наиболее часто используемым при объяснении случайных явлений природы.

Одной из теорем, относящихся к центральной предельной теореме, является теорема Ляпунова.

Теорема 2. (Ляпунова) Распределение суммы независимых случайных величин Xi , i=1, 2, 3,…, n, приближается к нормальному закону распре-

деления при неограниченном увеличении n, если выполняются следующие условия: 1) все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии; 2) ни одна из величин по своему значению резко не отличается от всех остальных, т. е. оказывает ничтожное влияние на их сумму.

Теорема Ляпунова имеет большое практическое применение. На опыте было установлено, что распределение суммы независимых случайных величин, у которых дисперсии не отличаются резко друг от друга, довольно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых, большем 10, распределение суммы можно заменить нормальным. Теорема Ляпунова справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин.

8.5.6. Система двух случайных величин

Рассмотренные выше случайные величины были одномерными, т.е. определялись одним числом. В практических задачах приходится сталкиваться со случаями, когда результат описывается двумя и более случайными величинами, образующими систему случайных величин (случайный вектор). Например, точка попадания снаряда имеет две координаты: x и y, которые можно

508

принять за систему случайных величин, определенных на одном и том же пространстве элементарных событий Ω.

В зависимости от типа, входящих в систему случайных величин, системы могут быть дискретными, непрерывными или смешанными, если в систему входят различные типы случайных величин.

Более подробно рассмотрим системы двух дискретных случайных величин.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины можно представить в виде таблицы (табл. 8.5.11), характеризующей собой совокупность всехзначенийслучайныхвеличин и соответствующих вероятностей:

Таблица 8.5.11.

Значения СВ	x1	x2	…	xn	ΣP(yj)
Y1	P(x1,y1)	P(x2,y1)	…	P(xn,y1)	P(y1)
Y2	P(x1,y2)	P(x2,y2)	…	P(xn,y2)	P(y2)
…	…	…	…	…	…
ym	P(x1,ym)	P(x2,ym)	…	P(xn,ym)	P(ym)
ΣP(xi)	P(x1)	P(x2)	…	P(xn)	1

Причем, сумма всех вероятностей pij , как и сумма вероятностей полной

группы несовместных событий равна единице.

По закону распределения двумерной случайной величины можно составить законы распределения каждой случайной величины, входящей в систему.

Таблица 8.5.12.

Ряд распределения для СВX:

СВ X	x1	x2	…	xn
ΣP(xi)	P(x1)	P(x2)	…	P(xn)	8.5.13
				Таблица

Ряд распределения для СВY:

СВ Y	y1	y2	…	ym
ΣP(yi)	P(y1)	P(y2)	…	P(ym)

Для системы случайных величин также вводятся числовые характеристики, подобные тем, какие были для одной случайной величины. В качестве числовых характеристик системы (X, Y) обычно рассматривают моменты различных порядков. На практике чаще всего используются моменты I-го и II-го порядков: математическое ожидание, дисперсия и корреляционный момент. Математическое ожидание и дисперсия двумерной случайной величины служат соответственно средним значением и мерой рассеяния. Корреляционный момент выражает меру взаимного влияния случайных величин, входящих в систему (X, Y).

Математическим ожиданием двумерной СВ (X, Y) называется сово-

купность двух математических ожиданий. M[X] и M[Y], определяемых равенствами:

n m	n m
M[X ] mx xi pij , M[Y ] my yi pij
i 1 j 1	i 1 j 1

509

Дисперсией системы СВ (X, Y) называется совокупность двух дисперсий DX и DY, определяемых равенствами:

n m	n m
D[X ] xi M X 2 pij , D[Y ] yi M Y 2 pij ,
i 1 j 1	i 1 j 1

или

n m

D[X ] xi2 mx2 , D[Y ]

i 1 j 1

n m

y2j my .

i1 j 1

Корреляционным моментом (или ковариацией) двух случайных ве-

личин X и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих СВ от их математического ожидания и обозначается через КXY или cov(X, Y).

Для дискретной СВ ковариация определяется по формуле

K XY M X mx Y my cov X ,Y n m xi mx y j my pij

i 1 j 1

Ковариацию часто удобно вычислять по формуле

K XY cov X ,Y M[XY ] M[X ] M[Y ] ,

n m

где M[XY ] xi y j pij .

i 1 j 1

Корреляционный момент служит для того, чтобы охарактеризовать связь между случайными величинами. Если случайные величины независимы, то их корреляционный момент равен нулю.

Корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин X и Y. Этот факт является недостатком этой числовой характеристики, т.к. при различных единицах измерения получаются различные корреляционные моменты, что затрудняет сравнение корреляционных моментов различных случайных величин.

Для того, чтобы устранить этот недостаток применятся другая характеристика – коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции rxy случайных величин X и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

	r		Kxy
			x y
	xy

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной. Он служит мерой линейной зависимости между случайными величинами.

Коэффициент корреляции независимых случайных величин равен ну-

лю.

Свойства коэффициента корреляции.