Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

842

	Следовательно,	f (z)dz 2 i res z1 ... 2 i res	f zn ,
		L
	n	res f (zk )
т.е. f (z)dz 2 i
L	k 1

L

l2

l1

Рис. 7.1.5

7.1.11. Вычисление вычетов

Правильные или устранимые особые точки. Очевидно, что если z z0 есть правильная или устранимая особая точка функции f (z) , то res f (z0 ) 0 (в разложении Лорана в этих случаях отсутствует главная часть, поэтому

c 1 0 ).
Полюс. Пусть точка z0	является простым полюсом функции				f (z) . То-
гда ряд Лорана для функции	f (z) в окрестности точки z0 имеет вид
f (z) cn z z0 n c 1 .
	n 0		z z0
Отсюда
z z0 f (z) c 1
		cn z z0 n 1 .
		n 0
Поэтому, переходя в этом равенстве к пределу при z z0 , получаем
	res f (z) c 1	lim z z0 f (z) .			(7.1.16)
		z z0

Замечание. Формуле (7.1.16) для вычисления вычета функции f (z) в

простом полюсе можно придать другой вид, если функция является частным двух функций, аналитических в окрестностях точки z0 .

Пусть f (z)	(z)	, где	(z0 ) 0 , а g(z) имеет простой нуль при	z z0
	g(z)
(т.е. g z0 0, g z0	0 ). Тогда, применяя формулу (7.1.16), имеем:

843

res

f (z0 ) lim z z0

(z)

lim

(z)

(z)

,

g(z) g(z0 )

z z0

g(z)

z z0

g (z)

т.е.

z z0

(z)

res

(z)

.

g(z)

z0

g (z)

Пусть точка

z0 является полюсом m-го (m 1) порядка для функции

f (z) . Тогда лорановское разложение функции

f (z)

в окрестности точки z0

имеет вид:

c 1

c 2

2

...

c m

m .

f (z) cn z z0 n

n 0

z z0

z z0

z z0

Отсюда

n m c m c m 1 z z0 ... c 1 z z0 m 1 .

z z0 m f (z) cn z z0

n 0

Дифференцируя последнее равенство (m–1) раз, получим

	d m 1	z z0 m f (z)
	dzm 1
								m 2)...(n 2) z z0 n 1.
(m 1)!c 1 cn (n m)(n m 1)(n
		n 0
Переходя здесь к пределу при z z0 , получим
		res f (z0 )	1			lim	d m 1	[(z z0 )m f (z)]		.
			(m 1)!					dz	m 1
						z z0
Если z0 – полюс 1-го порядка для функции f (z) , то
		res f	(z0 ) lim[(z z0 ) f (z)].
				z z0

Существенно особая точка. Если точка z0 – существенно особая точка функции f (z) , то для вычисления вычета функции в этой точке обычно непосредственно определяют коэффициент с 1 в разложении функции в ряд Лорана.

Пример 8. Найти вычет функции	f (z)	1	относительно
		(z 2)2 (z 3)

точки z = 2.

Решение. Эта точка является полюсом второго порядка. Получаем:

res( z 2 ) lim

d

[(z 2)2

f (z)] lim

d 1

lim

1

1.

dz

dz z 3

(z

3)

2

z 2

z 2

z 2

844

ЛЕКЦИЯ 7.2. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ: МЕТРИЧЕСКИЕ, НОРМИРОВАННЫЕ, ЛИНЕЙНЫЕ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТАНСТВА; ПОЛНОТА И ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ; ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТБРАЖЕНИЙ; ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Основой возникновения функционального анализа послужил процесс обобщения основных понятий и методов математического анализа и смежных с ним областей алгебры и геометрии на объекты более сложной природы. Рассмотрение различных задач классической математики с более абстрактной точки зрения позволяет лучше выяснить то общее, что присуще задачам, сходным по методам их решения, но различным по конкретному содержанию. Функциональный анализ является аксиоматической системой.

При аксиоматическом методе исследования мы отвлекаемся от конкретной природы изучаемых объектов. Основой (отправной точкой аксиоматической системы) служит система аксиом, определяющих существенные свойства изучаемых объектов. При таком построении теории все полученные результаты будут справедливыми для объектов, удовлетворяющей исходной системе аксиом, кроме того, доказательства, которые используют только существенные свойства изучаемых объектов, оказываются нередко короче и точнее вскрывают суть дела. Очевидно, что способ определения изучаемых объектов аксиомами осуществляется методом исследования. В функциональном анализе применяется аналитический метод исследования.

Основная задача математического анализа – всестороннее изучение функциональной зависимости. Для ее решения с помощью теории Дедекинда строится множество вещественных чисел и вводится понятие предела. Главным содержанием функционального анализа является теория операторов, представляющая обобщение понятия функции на объекты более сложной природы. Для построения теории операторов определяется абстрактное пространство и обобщается понятие предела.

Мы будем изучать некоторые множества объектов любой природы, для элементов которых каким-либо способом определены операции, обладающие определенными свойствами, подобные операциям и их свойствам над геометрическими векторами. Далее выясним свойства отображений пространств на пространство (операторы) и пространства на числовую ось (функционалы).

Как самостоятельная ветвь математики, функциональный анализ сложился в конце 18 – начале 19 в. Первые работы по функциональному анализу принадлежат итальянскому математику Вольтера, французскому математику Пуанкаре и немецкому математику Гильберту. Метрические пространства введены в науку французским математиком Фреше в начале 20 в., нормиро-

845

ванные пространства – в 1922 г. польским математиком Банахом и независимо от него американским математиком Винером.

В математическом анализе, как известно, одним из самых важных понятий было понятие предельного перехода. То же относится и к функциональному анализу.

7.2.1. Метрические пространства

Из жизненного опыта известно, что в слова «расстояние между пунктами А и В» даже в повседневной жизни вкладывается различный смысл в зависимости от ситуации. Если летчик это расстояние скорее всего будет измерять вдоль прямой, то автомобилист будет считать расстоянием длину пути из А в В вдоль шоссейных дорог, которые могут существенно отклоняться от прямолинейного пути.

Обычное расстояние между двумя точками A x1 , y1 и B x2 , y2 на

плоскости определяется так: соединяем эти точки отрезком и берем его длину за расстояние между этими точками. Математическая формула для этого расстояния, обычно называемого евклидовым, выглядит так:

A, B x2 x1 2 y2 y1 2 .

Но легко привести примеры, в которых более естественным оказывается другое определение. Допустим, мы находимся в городе с очень правильной планировкой. В этом городе n k прямоугольных кварталов, разделенных n-1 горизонтальными и k-1 вертикальными улицами. В таком городе разумно взять за расстояние между пунктами А и В длину кратчайшего пути по улицам города. Так понимаемое расстояние будет естественным, например, с точки зрения водителя, который не может проезжать через дворы. Это расстояние определяется следующим образом:

1 (A, B)		x2 x1				y2 y1		.

-Да это недалеко – десять минут ходу.

-Совсем близко – полторы остановки на трамвае.

-Почти рядом – пятьдесят рублей на такси.

Всюду здесь речь идет о расстоянии в самом прямом смысле слова. Способов измерения расстояния много. Как же смотрит математика на такое разнообразие? Ответ: рассматривая некоторое множество элементов, можно так определить расстояние между элементами, чтобы это наиболее соответствовало существу дела. Итак,

Определение 1. Множество, состоящие из элементов любой природы, для которого установлено понятие предельного перехода, называется абст-

рактным пространством.

846

Определение 2. Множество Е называется метрическим пространст-

вом, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие действительное число (x, y) , удовлетворяющее условиям (аксиомам):

1) (x, y) 0 ; x, y 0 тогда и только тогда, когда x=y (аксиома тождества);

2)x, y y, x (аксиома симметрии);

3)x, y x, z z, y (неравенство треугольника).

Число (x, y) называется метрикой или расстоянием между элемента-

ми x и y.

Пользуясь понятием расстояния, можно дать общее определение пре-

дела.

Определение 3. Элемент x метрического пространства X называется пределом последовательности элементов x1 , x2 , , xn , из X, если

xn , x 0 при n .

В этом случае будем писать

xn x или lim xn x

n

и говорить, что последовательность xn сходится к x.

Теорема 1. Если последовательность точек xn метрического пространства Е сходится к точке x E , то и любая подпоследовательность xnk последовательности xn сходится к этой же точке.

Теорема 2. Подпоследовательность точек xn метрического простран-

ства может сходиться не более чем к одному пределу.

Теорема 3. Если подпоследовательность xn точек из Е сходится к точке x E , то числа (xn , ) ограничены для любой фиксированной точки

пространства Е.

Введение той или иной метрики в функциональных пространствах зависит от требований задачи. Когда имеется расстояние, то ясно, что близкими надо считать те элементы, расстояние между которыми мало. Иногда бывает естественным считать непрерывные функции близкими, если мал максимум модуля расстояния между ними. Если речь идет о функциях, имеющих производные порядка m, естественно считать близкими такие элементы x(t) и y(t), у которых при всех значениях t близки не только значения самой функции, но и значения их производных порядка m. В других случаях естественно считать функции x(t) и y(t) близкими, если они близки в интегральном смысле и т.д.

Таким образом, определение метрического пространства представляется достаточно гибким, чтобы удовлетворить самым разным конкретным запросам математического анализа.

847

7.2.2. Примеры метрических пространств

Приведем примеры наиболее часто употребляющихся метрических пространств.

1. X – произвольное множество,

1,	x y,
(x, y)	x y.
0,

Выполнение аксиом 1)-3) очевидно.

2. Множество вещественных чисел (точек одномерного пространства), расстояние между элементами которого определяют по формуле

x, y x y ,

называется пространством R1 .

Выполнение аксиом метрики 1)-3) очевидно.

3. Множество точек n-мерного пространства x x1 , x2 , , xn , расстояние между элементами которого находят по формуле

n

x, y xi yi 2 ,

i 1

будем называть пространством Rn или n-мерным евклидовым пространством. В частности, при n=3

(x, y) x1 y1 2 x2 y2 2 x3 y3 2 .

4. Пространство непрерывных функций C a,b . Введем метрику, пола-

гая

(x, y) max x(t) y(t) .

t

Расстояние в этом пространстве означает максимальное отклонение

одной функции от другой. Выполнение аксиом 1), 2) очевидно. Проверим
выполнение аксиомы треугольника. Для любого t a,b имеем:
x(t) z(t) x(t) y(t) y(t) z(t) x(t) y(t) y(t) z(t)
max x(t) y(t) max y(t) z(t) (x, z) (x, y) ( y, z).
t	t

Отсюда

(x, z) max y(t) z(t) (x, y) ( y, z).

t

5. Пусть Е C a,b . Введем понятие метрики иначе:

b

(x, y) x(t) y(t) dt .

a

Замечание. Если оба пространства (примеры 4 и 5) составлены из одних и тех же элементов, но с различной метрикой, то и пространства следует считать различными.

6. Пространство ограниченных вещественных функций M a,b .

848

Пусть множество ограниченных функций x t задано на отрезке a,b . Расстояние между элементами этого множества определяют по формуле

x, y sup x t y t .

t a,b

Все аксиомы метрики выполняются.

7. Пространство C n , состоящее из n раз непрерывно дифференцируемых на отрезке a,b функций, расстояние между элементами которого опре-

деляют по формуле

n

i

i

.

x, y max

x t y t

t a,b i 0

8. Множество измеримых и суммируемых с p-й степенью p 1 функ-

b

x t

p dt

ций, т. е. интеграл p-й степени существует

и

b

a

1 p

x t y t

p

,

(x, y)

dt

называется пространством Lp a,b . a

9. Пространство m ограниченных (sup

xi

) числовых последова-

i

тельностей x x1 , x2 , , xn , , y y1 , y2 , , yn , имеет метрику

x, y sup

xi

yi

.

i

10. Пространство l2 (координатное пространство Гильберта): элемен-

тами служат числовые последовательности, удовлетворяющие условию

, а метрикой – функция

xi2

1

x, y

xi yi 2 .

i 1

11. Пространство lp

p 1 есть множество всех числовых последова-

тельностей x x , x

x

сходится и расстояние оп-

, , для которых ряд

i

2

1 2

1

ределяется по формуле

1 p

xi yi

p

,

x, y

i 1

(при p=2 получаем гильбертово пространство).

Справедливость аксиом симметрии и тождества очевидна. Справедливость аксиомы треугольника вытекает из неравенства Минковского:

n

a

b

p 1 p

n

a

p 1 p

n

b

p 1 p

.

i 1

i

i

i 1

i

i 1

i

Положив в неравенстве ai xi yi , bi yi zi , учтя его справедливость для любого n и перейдя к пределу, получим:

849

xi zi

p 1 p

xi yi

p 1 p

yi zi

p 1 p

.

i 1

i 1

i 1

12. Пространство L2 есть множество всех измеримых функций x t ,

определенных на отрезке a,b , для которых существует интеграл в смысле

b

Лебега: x t 2 dt , метрика в L2

определяется формулой

a

x, y

b

x t y t 2 dt .

a

13. Пространство Lp p 1 есть множество всех измеримых функций x t ,

определенных на отрезке a,b , для которых существует интеграл в смысле

b

Лебега:

x t

p dt , метрика в Lp

определяется формулой

a

b

x t y t

p

1 p

,

x, y

dt

a

(в частности, при p=2 получаем пространство L2 ).

Для доказательства того, что расстояние, определенное в двух последних примерах, удовлетворяет всем аксиомам метрики, необходимо принять во внимание неравенство Минковского в интегральной форме:

b

a

f g		p	1 p	b
			dt
				a

f		p	1 p	b
			dt
				a

1

g p dt p .

7.2.3. Шары в метрическом пространстве

Если на множестве определено расстояние, то с его помощью можно описать геометрические объекты, например, шары или окрестности точек в смысле этого расстояния.

Определение 4. Открытым шаром с центром в точке А радиуса r на-

зывается множество				(x,a) r .
Sr (A) x X :
Определение 5. Замкнутым шаром с центром в точке А радиуса r на-
зывается множество				(x,a) r .
		(A) x X :
	Sr
В пространстве R1 открытой сферой будет интервал a r,a r , а
замкнутой – отрезок a r,a r .
Для евклидова расстояния (x, y)			x1 y1 2 x2 y2 2 единичный

шар с центром в нуле на плоскости будет обычным кругом (рис. 7.2.1, а). Построим единичный шар с центром в нуле для метрики

850

1 (A, B) x2 x1 y2 y1 .

Точка С тогда и только тогда принадлежит единичному шару в этой метрике, когда выполнено неравенство x y 1. Все такие точки принад-

лежат квадрату (рис. 7.2.1, б). Единичным шаром с точки зрения расстояния

max x2 x1 , y2 y1

по определению будет

S1 (0) x R2 : max x1 0 , x2 0 1 x R2 : max x1 , x2 1 ,

т.е. тоже квадрат, но другой, со сторонами, параллельными осям (рис. 7.2.1,

в).

а

б

в

Рис. 7.2.1

7.2.4. Полнота и пополнение метрических пространств

Определение 6. Последовательность xn точек метрического про-

странства X называется фундаментальной, или последовательностью Ко-

ши, если xm , xn 0 при m,n . Это означает, что для любого числа

0 найдется номер N ( ) , такой, что xm , xn при m, n N .

Иными словами, у последовательности Коши члены с большими номе-

рами не могут сильно отличаться друг от друга, и lim xm , xn 0 .

n m

Фундаментальные последовательности также называют сходящимися

в себе.

На вещественной прямой работает

Критерий Коши: последовательность xn R сходится тогда и толь-

ко тогда, когда она фундаментальна.

В произвольном метрическом пространстве это уже не так. Принципиальную роль играет полнота X.

Теорема 4. Если последовательность xn сходится к пределу x0 , то

она фундаментальна.

Доказательство. В самом деле, пусть x0 lim xn . Тогда 0 найдется

n

номер N ( ) такой, что xn , x0 2 при n N ( ) . Следовательно,

xn , xm xn , x0 xm , x0

851

для m, n N .

Обратное утверждение для произвольного метрического пространства неверно, так как существуют метрические пространства, в которых имеются фундаментальные последовательности, не сходящиеся ни к какому пределу.

Пример 1. Пусть X – множество рациональных чисел, причем расстояние определяется по формуле (r1 ,r2 ) r1 r2 . Тогда X есть метрическое про-

странство.

Возьмем последовательность r1 12 , r2 14 ,…, rn 21n ,… Эта последовательность сходится фундаментально и к пределу r0 0 .

Возьмем теперь последовательность rn 1 1n n . Эта последователь-

ность сходится фундаментально, но не имеет предела в пространстве X, так

		1 n	e не является рациональным числом.
как lim 1
n		n

Определение 7. Метрическое пространство X называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится.

Вернемся к рассмотренным ранее метрическим пространствам

1,	x y,	полное, так как в этом
1. Пространство с метрикой (x, y)	x y
0,

пространстве фундаментальны только стационарные последовательности, т.е. такие, что начиная с некоторого номера повторяется все время одна и та же точка. Всякая такая последовательность, естественно, сходится.

2. Пространство Rn . Сходимость точек этого пространства равносильна

сходимости по координатам. Таким образом, из сходимости xk xk1 , xk2 , , xkn x0 x01 , x02 , , x0n ,

которую мы предполагаем данной, следует сходимость xkl x0l , l 1,2, ,n.

Так как предел каждой сходящейся последовательности координатxkl (как последовательности действительных чисел) является числом дей-

ствительным, то точка x0 x01 , , x0n Rn , а это и означает полноту простран-

ства Rn .

3. Пространство C a,b . Как следует из определения расстояния в пространстве C a,b , сходимость последовательности точек этого пространства

сводится к равномерной сходимости последовательности непрерывных функций. Пределом такой последовательности является непрерывная функция, то есть элемент того же пространства C a,b .