2468

2 З а д а н и е 1 1 . 1 .	Составить уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности z = x2	− y2 + 3xy − 4x + 2 y − 4 в точке М0(–1; 0; 1). Запи-

сать нормальный вектор к поверхности в точке М0.

Р е ш е н и е . Поверхность задана явно z = f (x, y). Тогда уравнение касательной плоскости имеет вид

z − z

0

= f

′ (x

0

, y

0

)(x − x

0

) + f ′ (x

0

, y

0

)( y − y

0

) ;

x

y

уравнения нормали –

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

;

f

)

)

′ (x

0

, y

0

f ′ (x

0

, y

0

− 1

x

y

нормальный вектор к поверхности в точке M (x0 , y0 , z0 )

n = ( f

′ (x

0

, y

0

), f

′ (x

0

, y

0

), − 1) .

x

y

z′

= 2x + 3y − 4,

z′

= (−1, 0) = −6,

x

x

z′

= −2 y + 3x + 2,

z′

= (−1, 0) = −1,

y

у

z – 1 = –6(x + 1) – y 6x + y + z + 5 = 0 – уравнение касательной плоскости;

х+ 1

=

у

=

z − 1

х+ 1

=

у

=

z − 1

– уравнения нормали; n = (−6,

−1, − 1) –

− 1

− 6

− 1

6

1

1

нормальный вектор к поверхности в точке M0.

Ответ: 6x + y + z + 5 = 0 – уравнение касательной плоскости;

х+ 1

=

у

=

z − 1

– уравнения нормали; n = (−6, −1, −1) . v

1

6

1

2 З а д а н и е

1 1 . 2 .

Составить уравнения касательной плоскости и

нормали к поверхности

x2

+ y2 + z2 = 9

в точке M0(2, –2, 1). Записать нормаль-

ный вектор к поверхности в точке M0.

F (x, y, z) = 0 , где

Р е ш е н и е . Поверхность

задана

неявно

уравнением

F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 – 9. Тогда уравнение касательной плоскости имеет вид

F ′ (x

0

, y

0

, z

0

)(x − x

0

) + F ′

(x

0

, y

0

, z

0

)( y − y

0

) + F ′

(x

0

, y

0

, z

0

)(z − z

0

) = 0 ;

x

y

z

уравнения нормали –

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

;

F′(x , y

0

, z

0

)

F′ (x , y

0

, z

0

)

F′(x , y

0

, z

0

)

x

0

y

0

z

0

нормальный вектор к поверхности в точке M (x0 , y0 , z0 )

–

n =

(F′ (x

0

, y

0

, z

0

), F

′ (x

0

, y

0

, z

0

), F′(x

0

, y

0

, z

0

)) .

x

y

z

′

′

′

= 2z,

′

′

(2,−2,1) = −4,

′

Fx = 2х, Fy = 2 у,

Fz

Fx (2,−2,1) = 4, Fy

Fz (2,−2,1) = 2

4(x – 2) – 4(y + 2) + 2(z – 1) = 0 2x – 2y + z – 9 = 0 – уравнение касательной

плоскости;

х− 2

=

у+ 2

=

z − 1

х− 2

=

у+ 2

=

z − 1

–

уравнения

нормали;

4

− 4

2

− 2

2

1

n = (4, − 4,

2) – нормальный вектор к поверхности в точке M0.

31

		у+ 2	Ответ: 2x – 2y + z – 9 = 0 – уравнение касательной плоскости;
	х− 2 =		= z −1	– уравнения нормали;				n = (4, − 4, 2) – нормальный вектор.
	2	− 2	1
	Замечание. Решение задачи задания 11.1 сводится к решению по схеме реше-
ния задачи 11.2, если уравнение поверхности z = f (x, y) переписать в виде
F (x, y, z) = 0 : f (x, y) – z = 0. v
	Т Р Е Н И Р О В О Ч Н Ы Й Т Е С Т П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е
Д Л Я И Н Ж Е Н Е Р Н О - Т Е Х Н И Ч Е С К И Х С П Е Ц И А Л Ь Н О С Т Е Й
					З А I I		С Е М Е С Т Р
№		З А Д А Н И Я						В А Р И А Н Т Ы О Т В Е Т О В
								А. Отношение приращения функ-
								ции к приращению аргумента;
	Какое из ниже перечисленных пред-							Б. Предел отношения функции к
								приращению аргумента;			В. Отно-
1.	ложений		определяет		производную			шение функции к пределу аргумен-
	функции (когда приращение аргумента
	стремится к нулю)?							та;	Г. Отношение предела функ-
								ции к аргументу; Д. Предел отно-
								шения приращения функции к при-
								ращению аргумента.
								А. Скорость изменения функции;
2.	Первая производная функции показы-							Б. Направление функции;
	вает…							В. Приращение функции;			Г. При-
								ращение аргумента функции.
								А. Отношению значения функции к
								значению аргумента в этой точке;
	Угловой		коэффициент			касательной,		Б. Значению производной функции
								в этой точке;		В. Значению диффе-
3.	проведенной к графику функции в неко-							ренциала функции в этой точке;
	торой точке, равен…							Г. Значению функции в этой точке;
								Д. Значению тангенса производной
	На рисунке изобра-							функции в этой точке.
					у		В	А. CD / AD;
	жен график функции					А	С	Б. BD / AD;
	y = f (x). Тогда			а)			D	В. BD;
4.
	производная				0	х	х + x х	Г. AD / CD;
	f ′(x)	равна ...						Д. AB / AD;
	б) дифференциал dy равен …							Е. AB.
	На	рисунке		изображен		2у	у=f (x)	А. 1;		Б. 0;
5.	график функции			y = f	(x).			В. 1,5;		Г. 3;
	Значение f ′ (1,5) = …					0	0,5 1,5 х	Д. 2.
							32

№

З А Д А Н И Я

В А Р И А Н Т Ы О Т В Е Т О В

А. Отношению приращения функ-

ции к приращению аргумента;

Б.

Произведению

приращения

6.

Дифференциал функции равен …

функции на приращение аргумен-

та; В. Произведению производной

на приращение аргумента;

Г. Приращению функции;

Д. Приращению аргумента.

Укажите точки

y

на

интервале (a;

b),

в

которых

А. Нет;

функция,

изобра-

0 а s

c p

b x

женная на рисун-

Б. р;

7.

В. а;

ке, …а) не дифференцируема;

б)

имеет максимум;

С. s;

Д. s, c.

в) принимает наименьшее значение;

г) производная функции обращается в

ноль.

Для любой линейной функции диффе-

А. Приращению функции;

8.

Б. Приращению аргумента;

ренциал функции равен…

В. Постоянной;

Г. Производной этой функции.

Функция

y = (x − 1) x2

не

имеет

А. x = 1;

Б. x = –1;

9.

В. x = 1, x = 0;

Г. x = 0;

производной в точках …

Д. x = –1, x = 0.

Уравнение

касательной

к

графику

А. у = х;

Б. у = 1;

10.

функции y =

1

в точке (0; 1) имеет

В. у = –х;

Г. у = –1;

x2 + 1

вид...

Д. у = х – 1.

Угловой коэффициент касательной к

А. 1;

Б. 2;

11.

графику функции y = ln x в точке x0 = 1

В. ∞;

Г. 0;

равен…

Д. –1.

12.

Значение

производной

функции

А. 1;

Б. –1;

В. 0;

y =

x

в точке х = 0…

Г. Не существует; Д. ∞.

Значение

производной

функции

А. 0;

1, x > 0,

Б. 1;

13.

0, x = 0,

в точке х = 0 рав-

В. +∞;

у = sign x =

Г. –1;

− 1, x < 0

но…

Д. –∞.

14.

В интервале (0; 1) функции

y = 4x и

А. Обе возрастают;

Б. Обе убыва-

33

№		З А Д А Н И Я					В А Р И А Н Т Ы О Т В Е Т О В
	y = log0,5 x …						ют; В. Первая убывает, вторая воз-
							растает; Г. Первая возрастает, вто-
							рая убывает.
	Если производная функции у = f (x) А. Монотонно убывает; Б. Равна 0;
15.	С (Х) меньше 0 на промежутке Х, то са-						В. Постоянна;	Г. Имеет разрыв;
	ма функция на этом промежутке…						Д. Монотонно возрастает.
16.	Для функции y = − x3 + 3x2 точка x = 0						А. Перегиба;	Б. Минимума;
	является точкой …						В. Разрыва I рода;
							Г. Максимума;	Д. Разрыва.
	Для	функции		y = sinx x	точка	x = 0	А. Непрерывности; Б. Разрыва II
17.							рода;	В. Разрыва I рода;
	является точкой…						Г. Устранимого разрыва;
							Д. Точкой экстремума.
	Производная			′	у		А. В точке х = 0;
				f (x)	–1 0	1
	функции,		непрерывной				Б. В точке х = 1;
18.	на [–1, 1], задана графи-					х	В. В точке х = –1;
	чески.	Тогда		функция	f	′ (x)	Г. В точках х = 1 и х = –1 одновре-
	принимает наименьшее значение …						менно;	Д. Во всех точках.
	Функция		у = x sin(1/ х), x ≠ 0,			обла-	А. 1), 2);
				0, x = 0
	дает свойствами…						Б. 1), 4);
19.							В. Всеми;
	1) непрерывная в точке х = 0;

2)дифференцируемая в точке х = 0; 2), 3);

3)периодическая; 4) ограниченная Д. 3), 4).

вобласти определения. Г.

			y = − x4 − 4x + 2				А. Монотонно убывает;
	20.	Функция				на всей чи-	Б. Выпукла вниз; В. Постоянна;
		словой оси…					Г. Выпукла вверх;
							Д. Монотонно возрастает.
	21.	Если дана функция			y = (2x + 1)3 , то		А. 3;	Б. 6;	В. 1;
		y′(0) равно…					Г. –1;		Д. –3.
		Если	производная			функции	А. –1;		Б. –3;
	22.	y′ = (x − 2)3 (x + 3)3 , то			сумма абсцисс		В. 1;		Г. –2;
		точек экстремума равна…					Д. 2.
							А. Только вертикальную асимпто-
				x − 4			ту;	Б. Только горизонтальную
	23.	График функции y =				имеет …	асимптоту; В.		И вертикальную и
					x2		горизонтальную асимптоты;
							Г. Не имеет асимптот;
							Д. Только наклонную асимптоту.
						34

№

З А Д А Н И Я

В А Р И А Н Т Ы О Т В Е Т О В

Асимптоты кривой

у =

1− х

имеют

А. х = −2,5; у = −0,5 ; Б. х= 2,5; у= 1;

24.

В. х = −2,5; у = 0,5 ;

2х+ 5

уравнения…

С. х = −1; у = 2х; Д. х= 1; у = 2х+ 5 .

Установите соответствие между гра-

фиком

1

2

3

функции

и

у

4

5

характером

А. 1, 3;

локального

0

a

a

a

a

a х

Б. 2, 4;

экстремума

25.

или разрыва в точке х = а.

В. 5;

а) Точка максимума;

Г. 1, 2;

Д. 3, 4, 5.

б) Точка минимума;

в) В точке экстремума нет;

г) Точка разрыва;

д) Точка непрерывности.

Наименьшее значение функции f (x) =

А. –3;

Б. –2 / 3;

26.

= x3 / 3 − x2 − 2 / 3

на отрезке [–1, 1] рав-

В. –2;

но…

Г. –4 /3;

Д. –5 / 3.

Значение функции у = 3

х в точке

х0 +

х

можно

вычислить

по

x

формуле

3

x0 +

x = …

1) 3 x0

+

+ o(

x) ;

А. Только 1),

3 x2

Б. Только 2);

0

27.

2)

3 x −

x

+ o(

x) ;3)

3 x

+

x

+ o(

x) ;

В. Только 3);

0

33 x02

0

33 x02

Г. Только 4);

Д. Только 5).

4)

3 x − x

+o( x) ; 5)

x −

x + o( x) .

0

3 x2

0

2

x0

0

Укажите функции, для которых суще-

А. Только 1), 2);

ствует конечная производная в каждой

Б. Только 3), 4), 5);

28.

точке числовой оси:

В. Все;

1) y = ln x;

2) y = |sin x|; 3) y = x3;

Г. Только 2), 3);

4) y = 3x ;

5) у = 3

х .

Д. Только 3), 4).

Укажите ВСЕ верные утверждения:

А. Только 1), 2);

если функция дифференцируема в неко-

торой точке, то в этой точке …

Б. Только 3), 4), 5);

29.

1) Функция не определена;

В. Все;

2) Функция непрерывна;

Г. Только 2), 4);

3) Нельзя провести касательную к

Д. Только 3), 4).

графику функции;

35

№

З А Д А Н И Я

В А Р И А Н Т Ы О Т В Е Т О В

4)Можно провести касательную к графику функции;

5)Функция имеет экстремум.

Дифференциал постоянной равен…

А. Только 1), 2);

1) Этой постоянной;

2) Нулю;

Б.

Только 2);

3) Бесконечно большой величине;

30.

В.

Только 5);

4) Произведению данной постоянной

на величину

x;

Г. Только 2), 4);

Д.

Только 3), 4).

5) Нет правильного ответа.

А.

π

+

27

− 6ln6 ; Б.

3π

+

25

− ln 6 ;

Дано y = x

3 arctg x + 6

x

.

2

2

2

4

31.

В.

3π

−

35

+ 6ln6

; Г

3π

+

27

− 3ln6 ;

x3

4

2

2

2

Тогда y′(1) =…

Д.

3π

−

27

+ 2 ln 6 .

4

2

Дано sin x + x2 cos y − y2 = 0 .

А.

cos x + 2x cos y ; Б.

− cos x + 2x cos y ;

x2 sin y + 2 y

x2 sin y + 2 y

32.

dy

В.

x2 sin y + 2 y

; Г.

−

x2 sin y + 2 y

;

=…

cos x + 2x cos y

cos x + 2x cos y

dx

Д. 0.

dy

3lnt + 1

3et + t et

3ln t + 1

33.

Дано x = t3 ln t , y = t3 et .

=…

А.

;

Б.

;В.

−

;

3et + t et

3lnt +1

3et + t et

dx

Г.

1 / tet;

Д. tet.

Для дифференцируемой функции f (x)

А.

f ′′(x0 ) = 0 ;

Б.

f ′(x) < 0 ;

из приведенных условий выберите…

В.

f ′′(x) > 0 ;

34.

а) достаточное условие убывания;

б) достаточное условие

выпуклости

С.

f ′′(x) < 0 ;

(выпуклости вверх);

в) необходимое

Д.

f ′(x) > 0 .

условие точки перегиба.

Частное приращение функции f (x; y)

А. f 'x x;

Б. f (x; y + y) – f (x; y);

35.

В. f (x +

x; y +

y) – f (x; y);

по переменной у равно…

Г. f (x +

x; y +

y);

Д. f (x + x; y) – f (x; y);

Е. f 'y y.

Если u = sin(x − y + z2 ) , то u′ в точке

А.

2;

Б. –2;

36.

z

M (1; 1; 0) равна …

В. 0;

Г. 1;

Д. –4.

37.

Если и = cos(x2 – y + z3), то значение

А. 1;

Б.

2 / 2 ;

В. – 3 / 2 ;

u′ в точке (0; –π / 2; 0)

равно ...

Г.

0;

Д. 1 / 2.

у

36

№

З А Д А Н И Я

В А Р И А Н Т Ы О Т В Е Т О В

y

y

I.

II.

0

a

b x

0

a

b x

А. Все графики;

y

y

Б. Только I и IV;

38.

III.

IV.

В. Только II и III;

0 a

b x

0

a

b x

Г. Только II;

Д. Только III.

График какой функции на всем отрез-

ке [a, b] одновременно удовлетворяет

трем условиям: y > 0; y′ > 0;

y′′ < 0?

Скорость материальной 2

точки, дви-

А. 14;

Б. 18;

39. жущейся по закону S(t) = 3t

+ 2, к концу

В. 29; Г. 12;

Д. 20.

третьей секунды равна …

Градиент скалярного

40.

поля u = xy + А. − i − j − k

;

Б. − i + j + k

;

+ yz − z 2

в точке А(0; 1; 1) имеет вид…

; Г. i + j −

; Д. i + j +

.

В. − i − j + k

k

k

Издержки z полиграфического предприятия на выпуск одного журнала оп-

ределяются формулой z = 100 – x2y + x + А. x = 4; y = 5; y, где x – расходы на оплату рабочей Б. x = 6; y = 3;

41.силы, тыс. р., (x > 0), y – затраты на ма- Г. x = 5,5; y = 3,5;

териалы, тыс. р., (y > 0). При каких зна- В. x = 4,5; y = 4,5; чениях x и y издержки производства бу- Д. x = 3; y = 6. дут минимальными, если затраты на один журнал составляют 9 тыс. р.?

Для функции

z = 1− x2 − (y − 1)2

точка

А. Точкой максимума;

Б. Точкой

42.

M (0, 1) является …

минимума;

В. Седловой точкой;

Г. Точкой перегиба.

43.

Кривизна параболы у = –(х + 1)2 в ее

А. 0;

Б. –2;

В. 1;

вершине равна…

Г. –1;

Д. 2.

44.

Производная второго порядка функ-

А. 1 / (5x);

Б. –1 / x2; В. –1 / (25x2);

ции y = ln 5x равна …

Г. –1 / (5x2);

Д. 1 / (5x2).

2

А. − 2 у/(х+ у2 )2 ; Б. 2 у/(х + у2 ) ;

45.

Найти

∂ z

, если z = ln(x + y2 ) .

В.

2х − 2у2

; Г.

2 у

; Д.1/(х+ у2 ) .

∂x∂y

(х + у2 )2

(х + у2 )2

Если u = ze

xy

∂ 3u

А. yexy;

Б. exy + xyexy;

В. xyexy;

46.

, то

= …

Г. exy;

Д. xexy.

∂x ∂y ∂z

47.

Стационарной точкой функции

z = x2

А. (0; 0);

Б. (1; 2);

В. (1; –2);

+ xy + y2 + 3y + 4

является…

Г. (2; –1);

Д. (–2; 1).

37

№

З А Д А Н И Я

В А Р И А Н Т Ы О Т В Е Т О В

d

2 z = −

1

dx2

+

2

dx dy −

x

dy2

, тогда

А. −

1

−

x

; Б. −

x

;

2

48.

y2

y2

x

y

y

x

z′′

равна …

В. 2 / у;

Г. 1 / у;

Д. –1 / х.

xy

Производная

скалярного

поля

А. 4;

Б. 2;

49.

u = x2 + 2 yx − 4 y

в точке (–1; –1) в на-

В. 0;

правлении

единичного

вектора

Г. –4;

e = (1; 0) равна…

Д. –2.

Если непрерывная в замкнутой

облас-

ти D функция z = f (М) принимает в точ-

ке Р наибольшее значение, но Р не явля-

А. Только 1), 2);

ется точкой максимума функции, то

Б. Только 4);

50.

можно утверждать…

В. Только 5);

1) Р – точка экстремума функции;

Г. Только 2), 4);

2) Р – внутренняя точка функции;

Д. Только 3), 4).

3)Р – точка разрыва функции;

4)Р – граничная точка функции.

	z = x5	+	x y4 .		Тогда		(z′	− z′ ) в	А. 210;	Б. –160;
51.	y3						x	y	В. 180;
									Г. 280;
	точке М(4, 4) равно…								Д. –240.
									А. А – точка минимума, В не явля-
									ется точкой экстремума; Б. А –
	В точках		A(1;−1)		и	B(0; 0)		функция	точка максимума, В – точка мини-
52.									мума; В. А – точка минимума, В –
	z = x4 + y4 − 2x2 − 2 y2					имеет…			точка максимума; Г. А – точка ми-
									нимума, В – точка минимума; Д. А
									– точка максимума, В – точка мак-
									симума.
53.	Максимальная			скорость			возрастания		А. 6 2 ;	Б. 4 2 ;
	функции z = x2 y			в точке М(2, 1) равна…					В. 2 ;	Г. 3 2 ;	Д. 2 2 .

О Т В Е Т Ы :

1Д, 2А, 3Б, 4а)Б, 4б)В, 5Д, 6В, 7а)Д, 7б)С, 7в)А, 7г)Б, 8А, 9Г, 10Б, 11А, 12Г, 13В, 14А, 15А, 16Б, 17А, 18Б, 19Б, 20Г, 21Б, 22А, 23В, 24А, 25а)А, 25б)Б, 25в)В, 25г)Г, 25д)Д, 26В, 27В, 28Д, 29Г, 30Б, 31В, 32А, 33Б, 34а)Б, 34б)С, 34в)А, 35Б, 36В, 37А, 38Г, 39Б, 40Г, 41Б, 42А, 43Д, 44Б, 45А, 46Г, 47В, 48Г, 49Г, 50Б, 51Д, 52Д, 53Б

38

Р Е К О М Е Н Д У Е М А Я Л И Т Е Р А Т У Р А

1.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учеб. для вузов.

В2-х томах. Т. 1. М.: Интеграл-пресс, 2002. 416 с.

2.Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1. Висагинас «Alfa», 1998. 400 с.

3.Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 2. Висагинас «Alfa», 1998. 384 с.

4.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. М.: Высшая школа, 2006. 416 с.

5.Гусак А. А. Высшая математика. В 2-х томах. Т. 1. Минск: Тетра Системс, 2000.

544 с.

6.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Часть 1, М.: Айрис пресс, 2004. 280 с.

7.Бочкарев А. Д., Кузнецов В. П. и др. Высшая математика. Часть 2, Самара: Сам-

ГАПС, 2005. 47 с.

8.Рябушко А. П. и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 1. Минск: Высшая школа, 2007. 270 с.

О г л а в л е н и е
Контрольная работа № 3 ............................................................................................................	3
Дифференциальное исчисление функций одной переменной................................................	3
Задание № 1 ...........................................................................................................................	3
Задание № 2 ...........................................................................................................................	6
Задание № 3 ...........................................................................................................................	7
Задание № 4 ...........................................................................................................................	9
Задание № 5 .........................................................................................................................	11
Решение задач типового варианта контрольной работы № 3 ................................................	12
Контрольная работа № 4 ...........................................................................................................	20
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных......................................	20
Задание № 6 .........................................................................................................................	20
Задание № 7 .........................................................................................................................	22
Задание № 8 .........................................................................................................................	23
Задание № 9 .........................................................................................................................	24
Задание № 10 .......................................................................................................................	25
Задание № 11 .......................................................................................................................	26
Решение задач типового варианта контрольной работы № 4 ................................................	27
Тренировочный тест по высшей математике для инженерно-технических
специальностей за II семестр..............................................................................................	32
Рекомендуемая литература.......................................................................................................	39

39

План 2010 г.

У ч е б н о е и з д а н и е

Б О Ч К А Р Е В А л е к с а н д р Б о р и с о в и ч , З Ы Б И Н В а л е н т и н А н а т о л ь е в и ч , К А Й Д А Л О В А Л ю д м и л а В и т а л ь е в н а , К У З Н Е Ц О В В л а д и м и р П е т р о в и ч , С А М О Й Л И К Е л е н а Н и к о л а е в н а

В ы с ш а я м а т е м а т и к а

К О Н Т Р О Л Ь Н Ы Е З А Д А Н И Я

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ инженерно-технических специальностей

Ч а с т ь 2

Подписано в печать 22.01.2010. Формат 60 × 90 1/16. Усл. печ. л. 2,4. Тираж 200 экз. Заказ № 2.

Отпечатано в Самарском государственном университете путей сообщения 443022, г. Самара, Заводское шоссе, 18.

40