Основы Теории погрешностей

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

					n−1
Tzф		1 −	1	X0 (1 − Tx0) −	∑	Xi (1 − Txi)	(27')
			Z		i = 1

В процентном виде

X0 (100% − Tx0)

n−1

Xi (100%

− Txi)

Tzф

100% −

+

∑

(28)

Z

Z

i = 1

n−1

Tzф

100% −

1

X0 (100% − Tx0)

− ∑ Xi (100% − Txi)

(28')

Z

i = 1

Отклонение окончательного результата – это разность отклоне-

ний уменьшаемого и вычитаемых чисел:

			n−1
Отклонение	∆ zф		∆ x0 − ∑ ∆ xi	(29),

i = 1

где δzф – фактическая погрешность окончательного результата,

Тzф – фактическая точность окончательного результата,

Z – точное значение величины окончательного результата,

∆zф – фактическое отклонение точного значения величины оконча-

тельного результата от приближенного, 21

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

δxi – i-я погрешность слагаемых и вычитаемых чисел,

Тxi – i-я точность слагаемых и вычитаемых чисел,

Xi – точное значение величины i-го числа,

∆xi – отклонение i-го числа,

n – количество чисел, участвующих в сложении и вычитании, n → ∞,

δx0 – погрешность уменьшаемого числа,

Тx0 – точность уменьшаемого числа,

X0 – точное значение величины уменьшаемого числа,

∆x0 – отклонение уменьшаемого числа.

Практическое применение формул (22)÷(25) показано в примере 8.

					Пример 8
			3
Z			∑ Xi		1.00999... + 66.66... + 458.458..		526.135125..
		i	= 1

3

Zпр ∑ Xпрi 1.00 + 66.6 + 458 525.6

i= 1

∆z Z − Zпр 526.135125.. − 525.6 0.535125..

δz			Z − Zпр	100%			526.135125.. − 525.6	100%		0.1017..%
			Z				526.135125..

T			Zпр			100%			525.6	100%		99.892..%
z				Z					526.135125..
∆zф					0.00999... + 0.0666... + 0.458458..									0.535125..

22

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

δ			1	(1.0099... 0.99009..+ 66.6... 0.1 + 458.4.. 0.1)		0.1017..%
zф			526.1..

T 100% − 1 (1.0099... 0.990..+ 66.6... 0.1+ 458.4.. 0.1) 99.8..%

zф	526.1..

Примечание: в данном примере использовалось L-округление.

Пример 8 выявил ряд довольно интересных деталей. Во-первых, прак-

тическим путем доказана состоятельность формул (22) (25). Во-вторых, значения фактических и теоретических величин числовых характеристик равны, т.е. отклонение между ними равно нулю:

∆ 0%

Это означает, что никакого закона сложения погрешностей, свойственного умножению и делению, при сложении, как впрочем и при вычитании, не существует.

Выше были сформулированы два способа сокращения чисел – сокращение по знакам и сокращение по погрешности и точности. Применительно к сложению и вычитанию второй способ имеет немного другую форму-

~

лировку: сокращение чисел по погрешности с тильдой ( δx), которая опре-

деляется следующим образом:

~			X		δx
δx						(30)
			Z

23

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

~

Точность с тильдой ( Tx) определяется стандартным способом:

~	~
Tx		1 − δx	(31)

Второй способ сокращения чисел очень сложен и его следует использовать с применением вычислительной техники. Сложность заключается в незнании точного значения окончательного результата.

Если подставить формулу (30) в формулы (22), (23) и (24), то получим следующие результаты:

Сложение:

n

∑

~

Погрешность

δzф

δxi

(32)

i = 1

n

1 −

∑

~

Точность

Tzф

δxi

(33)

i

= 1

n

(1 − n)

+ ∑

~

Tzф

Txi

(33')

i

= 1

24

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Точность в процентном виде

				n
				100% − ∑	~
		Tzф			δxi
				i = 1
					n
		(1 − n) 100% +			∑	~
Tzф						Txi
					i = 1

~
где δxi	– i-я погрешность числа с тильдой,
~
Txi	– i-я точность числа с тильдой.

(34)

(34'),

Если же подставить формулу (30) в формулы (26), (27) и (28), то получим следующие результаты:

Вычитание:

n−1

~

−

∑

~

Погрешность

δzф

δx0

δxi

(35)

i

= 1

n−1

~

~

Tzф

1 − δx0 + ∑

δxi

(36)

Точность

i = 1

n−1

~

− ∑

~

Tzф

(n −

1) + Tx0

Txi

(36')

i

= 1

25

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Точность в процентном виде

					n−1
~					+ ∑	~
	Tzф			100% − δx0		δxi		(37)
					i = 1
						n−1
					~	∑	~
Tzф		(n − 1) 100% + Tx0 −					Txi	(37')

i = 1

Как можно заметить, представленные формулы идентичны формулам определения основных числовых характеристик при умножении и делении, только при сложении и вычитании используются погрешность и точность с тильдой.

Исходя из данных рассуждений, необходимо сформулировать закон равновесия погрешностей и точностей с тильдой при сложении и вычитании для округления чисел по второму способу сокращения чисел:

Величины погрешностей (точностей) чисел с тильдой, при сложении и вычитании должны быть равны между собой.

~	~		~
δx1		δx2		....		δxi	(38)

~	~		~
Tx1		Tx2		....		Txi	(39)

26

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

При сокращении чисел по знакам происходит разброс в величинах погрешностей и точностей с тильдой, образующие определенный уровень.

Закон равновесия погрешностей и точностей с тильдой при сложении и вычитании для сокращения чисел по знакам выглядит следующим образом:

Величины погрешностей (точностей) чисел с тильдой при сложении и вычитании должны быть равны по числовому уровню их изменения.

~

~

~

Yп1

Yп2

....

Yпi

(40)

~

~

~

(41),

где

~

Yт1

Yт2

....

Yтi

– i-й уровень изменения погрешности с тильдой,

Y

пi

~

Yтi – i-й уровень изменения точности с тильдой.

i = 0...n

n → ∞

При этом погрешности и точности с тильдой различных чисел при сложении и вычитании всегда стремятся к равновесию:

~ ~	~	(42)
δx1 → δx2 → .... → δxi → const

27

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

~ ~	~	(43)
Тx1 → Тx2 → .... → Тxi → const

Исследования показывают, что при сложении и вычитании для соблюдения условий (40) и (41) в расчетах необходимо оставлять k знаков после знака дробности, но это еще нужно доказать теоретически. В доказательство возьмем сложение двух положительных чисел. Будем исходить из условия использования у них k знаков после знака дробности.

Z= X1 + X2

Вкачестве объекта исследования возьмем число X1, а второе число X2

будет иметь постоянную величину, тем самым добьемся ненужного увеличения объема исследований.

При 0 ≤ X1 < n и X2 = const X2 ≤ Z < n

Как уже было отмечено, на погрешность и точность с тильдой оказывают влияние два фактора: погрешность и точность слагаемых чисел и в данном случае параметр X1/Z. Эти факторы отобразим графическим путем.

Сначала построим условный график изменения погрешностей при использовании L-округления. Использование определенного количества знаков после знака дробности особой роли не играет, поэтому примем первона28

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

чально один знак. Погрешность в каждом числовом интервале будет меняться от 0 до какого-то максимального значения. Например, в первом числовом интервале максимальная погрешность будет равна 50 % (число

0.1999…), во втором – 9.0909.. (число 1.0999…), но в целом существуют интервалы погрешностей, которые отражены на условном графике, представленном на рис. 1.

δx1, %

100

10

1

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

Nчи

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Рис. 1. Условный график изменения

погрешностей при L-округлении

Второй фактор, влияющий на погрешность с тильдой, представляет собой вес (X1/Z) слагаемого числа в общей величине окончательного резуль-

тата. При стремлении числа X1 к бесконечности и постоянной величине

числа X2 этот вес возрастает и стремится к единице:

lim X1 1

X1→∞ Z

29

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Графическая иллюстрация второго фактора приведена на рис. 2.

X1/Z

1

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

0.000001

0.0000001

Nчи

0 n-7 n-6 n-5 n-4 n-3 n-2 n-1 n

Рис. 2. Влияние числа X1 на величину

окончательного результата Z

На данном графике показано влияние слагаемого числа на окончательный результат, причем n не обязательно равно бесконечности, оно может равняться любому натуральному числу, естественно, с учетом графических

ограничений (в данном конкретном случае n > 8). Условность графика за-

ключается не только в использовании нестандартной координатной сетки, но и в условности построения линий влияния, т.к. даже при использовании первого числового интервала параметр X1/Z может достигать единицы.

Таким образом, рассмотрены два фактора, влияющие на погрешность с тильдой, которые впрочем, входят в формулу ее определения путем перемножения погрешностей слагаемых чисел и параметров X1/Z. Это означа-

ет, что для получения ответа на поставленный вопрос необходимо постро30