1.3 Определение параметров цк(цск) по m,s,r

Рассмотрим методику выбора параметра БЧХ-кода, исправляющегоsнезависимых ошибок при известной длине информационной части кодаm₁.

Исходя из первой и второй теоремы БЧХ, для известных m₁иs` выбираем наименьшиеhи, удовлетворяющие условию:

(2)

Учитывая, что:

(3)

Получим, согласно (2):

(4)

БЧХ-код , удовлетворяющий (4), является искомым БЧХ-кодом. Отметим, что соотношение (3) является границей существования (n,m,d) линейного кода (в том числе и циклического).

Выбираем порождающий полином:

(5)

Где m_i(x) – неприводимые полиномы степени не болееh, которые отыскиваются по таблиценеприводимых полиномов.

Переходим к четному минимальному кодовому расстоянию:

(6)

Находим порождающий полином:

(7)

Пример 4

1.4 Определение параметров цк, обеспечивающих заданную вероятность передачи по каналу с шумом

Одной из основных проблем, решаемых при синтезе системы передачи данных, и в частности цифровых систем телемеханики, является обеспечение высокой достоверности передачи сигнала по каналу с помехами.

В данном разделе рассмотрим методику определения параметров (n,m,d) ближайшего табличного кода БЧХ-кода, удовлетворяющего заданным требованиям по вероятности передачи сообщенийp_доп в канале без памяти (двоичный симметричный канал с независимыми ошибками) при известной вероятности ошибки на символp. В качестве аналитической модели данного цифрового канал используется биномиальное распределение ошибок (модель 1):

или пуассоновское распределение ошибок (модель 2):

,

где p(i,n) – вероятностьi-кратной ошибки, средиnпередаваемых символов;

p– вероятность ошибки при передаче элементарного сигнала;

I₀– среднее число ошибок средиnпередаваемых символов,

В канале с независимыми ошибками, использующими для передачи информации ЦК (ЦСК), исправляющиеsи менее ошибок, вероятностные показатели определяются следующим образом:

(8)

(9)

здесь n– длина кода (n,m) сd_min=2s+1, определяемая из границы существования БЧХ.

Пример 5

Для ЦК(ЦСК) с четным кодовым расстоянием d_min=2s+2:

(10)

p_np,p_mp,p_{cm –} соответственно вероятности правильной передачи сообщения, трансформация сообщения (необнаруженной ошибки), стирания сообщения (обнаруженной ошибки).

Приведенные соотношения положены в основу алгоритма и программ автоматизированного проектирования цифровых каналов, использующих ЦК (ЦСК) для обеспечения заданной верности передачи (БЧХ-коды являются оптимальными блоковыми кодами в каналах с независимыми ошибками).

Пример 6

1.5 Кодеры цск

Наибольший интерес представляют систематические циклические коды, так как они позволяют наиболее просто реализовать кодирующие и декодирующие устройства. Условимся в любом систематическом циклическом коде первые символов, т.е. коэффициенты привсегда выбирать в качестве проверочных символов, а последниеmсимволов, т.е. коэффициенты при- в качестве информационных символов.

Возможны два способа кодирования информации в систематическом коде: кодирование с помощью полинома h(x) и кодирование с помощью полиномуg(x).