зоз

7.8. Автоматизированная генерализация тематических карт

параллельными линиями (рис. 7.8-II). Параметрами коридора могут служить его наклон, ширина, задание области поиска координат или расстояний.

В алгоритмах глобальной обработки линия рассматривается как целое. Среди них наиболее распространен алгоритм ДугласаПейкера [Берлянт, Мусин, Собчук, 1998; Core, 1991]. Принцип его работы основан на задании полосы (коридора) допустимых отклонений rl, многократном просмотре с помощью этой полосы всех точек линии, начиная с первой и последней, и фиксации каждый раз наиболее удаленной от ее центральной линии точки. Подобным образом обрабатывают всю исходную линию, при необходимости возвращаясь назад до тех пор, пока все точки не окажутся внутри своего коридора. Упрощенная линия будет образована центральными линиями всех коридоров, построенных в этом процессе.

Для оценки процесса упрощения используют различные параметры как исходной, так и упрощенной линий (длина, угловатость и кривизна, их смещения). Практически доказано, что алгоритм Дугласа-Пейкера дает наилучшие результаты (лучше других сохраняет важные геометрические характеристики данных).

С целым рядом других методов автоматизированной генерализации линий можно познакомиться в книге «Картографическая генерализация и теория фракталов» [Берлянт и др., 1998].

7.8.3. Использование теории фракталов

Упрощение и сглаживание несомненно полезны для улучшения внешнего вида линий, но они учитывают лишь геометрическую значимость точек линии и их взаимное расположение и не учитывают их географической значимости. Для некоторых объектов (дороги, меандрирующие реки) такие методы могут хорошо отражать реальный характер представленных объектов. Однако существует множество природных особенностей, которые будут переданы грубо или просто пропущены.

Английский исследователь Л. Ричардсон еще в начале 60-х гг. провел подробное исследование картографических представлений береговых линий и измерений их длин в различных масштабах. Он выявил едва ли не бесконечное число типов извилистости таких линий. Эти исследования привели его к выводам, что важное свойство линий заключается в том, что некоторые их сегменты,

3 0 8 Глава 7. Задачи и методы геоинформационного картографирования

видимые при низком разрешении, приблизительно повторяются при последовательно повышающемся разрешении. Согласно теории фракталов, такие линии имеют самоподобие форм и могут быть промоделированы фрактальными линиями.

Термин «фракталы» был введен Бенуа Мандельбротом в его публикации «Fractals: Form, Chance and Dimension» (1977); второе издание вышло в 1982 г. под названием «Fractal Geometry of Nature».

Фракталы — это не столько набор моделей, сколько набор понятий. Они создают основу для понимания того, как изменяются изображения реальных географических объектов при генерализации или изменении масштаба, позволяют перейти к систематическому анализу влияния масштаба и разрешения на процесс генерализации. Многие исследования по фрактальной геометрии природы пока еще только начинаются (особенно в геоморфологии и картографии), но в некоторых областях уже достигнуты поразительные результаты.

В обычной евклидовой геометрии, которую в основном используют для представления географической реальности, действуют с точками, линиями, площадями и объемами. Евклидова размерность (£) выражена положительными целыми числами и отражает количество координат, необходимых для определения точки. Чтобы обозначить какую-либо точку на профиле, нужны две координаты, следовательно, евклидова размерность профиля равна двум. Для обозначения точки на поверхности требуются три координаты, поэтому размерность поверхности — три. С евклидовой размерностью тесно связана так называемая топологическая размерность (DT) объектов — на плоском листе бумаги (с евклидовой размерностью 2) можно изобразить двумерную фигуру (DT= 2), одномерную линию (DT = 1) и точку с нулевой размерностью (DT = 0).

Англоязычный термин fractals происходит от латинского корня fractus (дробный). Во фрактальной геометрии тоже действуют с точками, линиями, площадями и объемами, но не ограничиваются целочисленной размерностью — фрактальная размерность (D) может выражаться любым действительным числом. Это число должно быть, по меньшей мере, равно топологической размерности явления, а верхний предел не должен превышать евклидову размерность (т. е. О < Dr < D < Е). Для прямой линии топологическая и фрактальная размерности одинаковы и равны 1; слегка изогнутые линии сохраняют топологическую размерность 1, а фрактальная

зоз

7.8.Автоматизированнаягенерализациятематических карт

размерность будет несколько больше 1; сильно изогнутые линии при DT = 1 характеризуются большей фрактальной размерностью (рис. 7.9 а-в)\ линия, полностью «заполняющая» лист бумаги, имеет фрактальную размерность 2. В природе многие картографические линии характеризуются фрактальной размерностью от 1,15 до 1,30, а поверхности — от 2 (абсолютно плоские) до 3 (целиком заполняющие пространство).

D=l.l

D=1.2

D = 1.4

-TVJ^L/V. u.

Рис. 7.9. Понятия теории фракталов: а-в — линии разной фрактальной размерности; г— геометрическое самоподобие

Фрактальная размерность является новой и необычной характеристикой метрической информации о линиях и поверхностях.

Самоподобие и масштабирование. С математическим определением фрактала связано и еще одно понятие, отражающее иерархический принцип организации действительности, — самоподобие фрактальных объектов. Самоподобие означает, что некоторые черты объекта или явления сохраняются при таких изменениях масштаба, как приближение или удаление. При геометрическом

3 1 0

Глава 7. Задачи и методы геоинформационного картографирования

подобии (рис. 7.9 г) существует строгое соответствие между крупным и мелким масштабами, но оно не свойственно природным явлениям. Формы, сохраняющиеся при разном изменении масштаба по разным координатным осям, называются самоподобными. Замечено, что такими фрактальными свойствами обладают многие географические объекты — побережья морей и океанов, реки, горные ущелья, государственные границы там, где они проведены по природным контурам.

Зависимость от масштаба. Непропорциональная зависимость измерений от масштаба при работе с картами отмечена уже давно и многими. Разрабатывались специальные методы и номограммы для редуцирования линий при переходе от мелкого масштаба к более крупному и для определения длин реальных линий. Л. Ричардсон в своих исследованиях представлений береговых линий выяснил, что существует предсказуемое соотношение между масштабом, в котором проводятся измерения, и длиной линии. Схемы, иллюстрирующие взаимосвязь между масштабом измерения и длиной, получили название «схем Ричардсона»; изменение длины измеряемой линии с изменением масштаба происходит по закону Ричардсона

L = A M ( 7 . 1 )

где L — длина линии, А — некоторый коэффициент, М — знаменатель масштаба, значение а связано с фрактальной размерностью линии соотношением D = 1 + а.

Формула (7.1) показывает, что линия с небольшой фрактальной размерностью (прямая) сохраняет длину при изменении масштаба; линия с фрактальной размерностью 1,15 быстро теряет длину при генерализации.

Вычисление фрактальной размерности. Одним из примеров алгоритма определения фрактальной размерности картографической линии может служить следующая последовательность операций [Core, 1991].

1.Измеряемую линию разбивают на участки с заданным шагом

5t; допустим, что в линии укладывается пх шагов, тогда длина линии равна s]xnv

2.Повторяют процесс, уменьшив длину шага до s2; теперь в линии

п2 шагов и длина линии равна s2xnr

3. Вычисляют фрактальную размерность как:
D =	\og(n2/n])/\og(s{/s2).	(7.2)

зоз

7.8. Автоматизированная генерализация тематических карт

Рассмотрим конкретный пример.

1.Размер шага — 10 м, число шагов — 100.

2.Размер шага — 5 м, число шагов — 220.

D « log(220/100)/log( 10/5) = 1,14.

Чем больше извилистость линии, тем больше увеличивается ее длина между двумя измерениями, и следовательно — больше ее фрактальная размерность. В примере использованы десятичные логарифмы, но можно применять и другие. Существует множество способов определения фрактальной размерности точек, линий, площадей и объемов.

Использование фрактальной геометрии (особенно фрактальной размерности) позволяет проводить сопоставления и оценивать параметры объектов или их отношения в зависимости от масштаба. Эти вопросы особенно важны для геоинформационного картографирования при цифровом представлении картографических характеристик и касаются таких задач, как:

•определение подходящего интервала кодирования (цифрования);

•генерализация линий — наилучшим будет такой способ генерализации, при котором сохраняется фрактальная размерность линии;

•изображение линий в масштабе, крупнее того, в котором проводилась съемка — вводится дополнительная «информация» путем добавления деталей, рассчитанных как функция фрактальной размерности исходной линии;

•включение фрактальной размерности в число картометрических показателей.

Фрактальные свойства картографы используют для создания реалистических изображений местности, т. е. для дополнения деталями оцифрованных или уже генерализованных линий при их показе в более крупном масштабе или при недостатке цифровых данных. Примером служит способ утрирования линий.

Г. Даттон (1981) применил концепцию самоподобия для усовершенствования оцифрованных линий, добавляя угловатость, соответствующую повышению разрешения. Таким способом сделана попытка сохранить фрактальную размерность оригинальной линии.