2.2. Формы представления синусоидальных величин. Комплексные числа

Существуют следующие основные формы представления гармонических величин:

1. Тригонометрическая форма:

Недостаток – трудно производить математические операции с несколькими синусоидами.

2. Графическая форма(волновая диаграмма).

Недостаток – трудность точного изображения и большие погрешности при расчетах с помощью графических построений.

3. Векторы на плоскости в Декартовой системе координат.

Длина вектора – амплитуда.

Угол – начальная фаза.

Векторная диаграмма– это совокупность векторов, изображающих векторы тока, напряжения и э.д.с. цепи, исходящих из одной точки

Недостаток: можно легко складывать и вычитать, трудно умножать и делить.

4. Комплексная форма представления.

Комплексное число– алгебраическая сумма действительного числа A и мнимого числа jB:

.

Сопряженное число:

.

Мнимая единица:

;

.

Модуль комплексного числа– длина вектора :

.

Аргумент (фаза) комплексного числа– угол между осью действительных чисел и вектором:

(обязателен учет четверти – если II-я или III-я четверть, то

).

Угол откладывается против часовой стрелки.

Существуют следующие формы комплексного числа:

1. Алгебраическая форма:

.

Алгебраическая форма предпочтительна для сложения и вычитания комплексных чисел:

.

2. Показательная форма:

.

Показательная форма предпочтительна для умножения и деления комплексных чисел:

.

3. Тригонометрическая форма:

,

т.к. .

Для перевода из одной формы в другую:

; ;

; .

Символом с индексом max обозначается комплекс амплитуды величины,например Ė_m. Без индекса –действующее значение величины, например Ė.

На рисунке:

;

;

.

Изображение гармонических колебаний комплексным числом позволяет заменить интегрально-дифференциальные уравнения комплексными алгебраическими уравнениями. При этом комплексами изображаются не только гармонические э.д.с., U, I, но и параметры схемы.

2.3. Пассивные элементы r, l, c в цепи синусоидального тока

2.3.1. Идеальный резистивный элемент (ИРЭ)

Мгновенное значение напряжения на ИРЭ:

.

Ток, протекающий через ИРЭ:

;

.

Т.о. напряжение и ток на ИРЭ всегда совпадают по фазе:

Комплексное сопротивление .

- закон Ома в комплексной форме для ИРЭ.

Сопротивление у ИРЭ активное. Активная мощность оценивает интенсивность необратимого процесса преобразования электроэнергии в другие виды энергии.

Мгновенная мощность:

;

,

где – действующие значения напряжения и тока.

Среднее значение мощности на ИРЭ:

.

2.3.2. Идеальный ёмкостный элемент (иеэ)

Мгновенное значение напряжения на ИЕЭ:

.

Ток, протекающий через ИЕЭ:

Тогда

– ток опережает напряжение на .

Комплексное сопротивление ИЕЭ:

,

где - емкостное сопротивление.

- закон Ома в комплексной форме для ИЕЭ.

Мгновенная мощность:

;

.

Средняя мощность:

.

Энергетические процессы в ИЕЭ носят обменный характер с двойной частотой по отношению к частоте цепи.

Процессы обмена энергией между источником и приемником – реактивные процессы.

Сопротивление ИЕЭ – реактивное.

Интенсивность обменных процессов оценивается реактивной мощностью:

.