2. Полная система уравнений эмп в интегральной и дифференциальной формах записи. Теорема Гаусса

Теорема Гаусса является одной из фундаментальных теорем теории поля. Она гласит: поток вектора электрической индукции D сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов Q, расположенных в объеме, ограниченном этой поверхностью.

Докажем вначале эту теорему для случая, когда имеется один точечный заряд. Поверхность S выбирается произвольно. Электрическая индукция в этом случае

а ее поток

Величина

представляет собой телесный угол. Под углом dΩ виден элемент поверхности dS, если вершина телесного угла совмещена с точкой, в которой находится заряд Q. Телесный угол, под которым видна вся поверхность S, равен 4ח стерадиан.

Подставив значение dΩ, получим:

Так как

Если

Докажем теорему для случая произвольно распределенного заряда. Любая система зарядов может быть разложена на элементарные заряды dQ, каждый из которых можно считать точечным. Для каждого такого элементарного заряда справедлива теорема Гаусса. Суммируя элементарны потоки и заряды в объеме, ограниченном поверхностью S, получаем:

где — алгебраическая сумма всех зарядов, находящихся внутри объема, ограниченного поверхностьюS.

Если заряд расположен вне объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, то поток вектора D сквозь такую поверхность равен нулю. Теорема Гаусса широко используется при расчете электрических полей.

Теорема Гаусса в дифференциальной форме

Преобразуем поток вектора электрической индукции по теореме Остроградского:

В случае объемного распределения заряда

Так как по теореме Гаусса

то

Объем V был выбран произвольно, и равенство справедливо для всех его значений. При таком условии подынте­гральные функции должны быть равны.

Полученное выражение представляет собой дифференциальную форму теоремы Гаусса. Оно отмечает то обстоятельство, что источники электрического поля находятся только в тех местах, в которых имеются электрические заряды.

Для сред с постоянной диэлектрической проницаемостью ε можно записать:

Формулы справедливы и в случае переменного во времени электромагнитного поля.

Уравнения Пуассона и Лапласа

Как было показано выше, электростатическое поле можно рассчитать, пользуясь методом наложения и выражениями напряженности и потенциала поля точечного заряда или пользуясь интегральной теоремой Гаусса. Оба метода расчета применимы только при расчете полей простой конфигурации.

В общем случае расчет поля состоит в решении уравнений Пуассона и Лапласа.

Чтобы получить эти уравнения, используем соотношения

Подставив Е, получим:

Дивергенцию градиента принято называть лапласианом и обозначать∇²φ. Следовательно,

В тех точках поля, в которых нет заряда.

Решение может быть записано в виде интеграла:

Введение понятия потенциала облегчает расчет электростатических полей. Он сводится к определению одной скалярной функции φ, зная которую, можно легко определить напряженность поля из выражения

Непосредственное определение напряженности поля из уравнения

свелось бы к нахождению трех скалярных функций, соответствующих трем проекциям вектора Е, что значительно сложнее.