Теорема единственности

Покажем, что если найдена напряженность электрического поля Е, которая удовлетворяет уравнениям электростатического поля и заданным граничным условиям, то это решение является единственным.

Пусть Е₁ такое решение. Тогда div (ε_aE₁) = ρ и rotE₁ =0.

Предположим, что имеется: другое решение Е₂, тогда должны иметь место равенства div (ε_aE₂)= ρ и rot Е₂ = 0. Найдем дивергенцию и ротор вектора разности Е₁ — Е₂:

Если у какого-либо вектора, в данном случае E₁ — Е₂, и дивергенция и ротор во всех точках поля равны нулю, то такой вектор равен нулю: E₁ — Е₂ = 0. Следовательно, E₁ — Е₂, т. е. оба решения одинаковы.

Проводники в электростатическом поле

Если проводнику сообщить заряд, то под действием сил отталкивания элементы этого заряда будут перемещаться по проводнику и сосредоточиваться на его поверхности в слое, который можно считать бесконечно тонким. Внутри проводника электростатическое поле существовать не может. Напряженность электрического поля Е внутри проводника должна равняться нулю. Все точки проводника должны иметь один и тот же потенциал, а это значит, что поверхность проводника представляет собой эквипотенциальную поверхность.

Если внести металлический проводник во внешнее электрическое поле, то под действием сил поля свободные электроны начнут перемещаться по проводнику. На одной части поверхности проводника сосредоточатся отрицательные заряды, на противоположной — положительные. Напряженность электрического поля внутри проводника станет равной нулю. Поверхность проводника будет границей электростатического поля, которое локализовано в диэлектрике, окружающем проводник.

Описанное свойство проводников используют в технике при электростатическом экранировании электрической аппаратуры. Экранируемый аппарат помещают в металлическую сетку — экран. В каком бы внешнем электростатическом поле ни находился сетчатый экран, в области, ограниченной этим экраном, электростатического поля практически не будет.

Граничные условия в электростатическом поле

На границе двух различных сред векторы поля должны удовлетворять определенным условиям, которые называются граничными.

Рассмотрим границу двух непроводящих сред, диэлектрические проницаемости которых равны ε₁ ε₂. Пусть на границе этих сред имеется свободный заряд с поверхностной плотностью σ. Проведем замкнутую цилиндрическую поверхность S так, чтобы одна ее половина была расположена в первом диэлектрике, другая во втором. По теореме Гаусса поток вектора электрической индукции будет равен зарядам, которые находятся внутри объема, огра­ниченного замкнутой поверхностью S:

Представим поток вектора D в виде суммы трех потоков:

Если площадка ∆S невелика, то можно считать, что во всех точках этой площадки вектор D имеет одну и ту же величину, тогда

Если высоту цилиндра уменьшать так, чтобы площадки ΔS стремились к границе между диэлектриками, то поток через боковую поверхность будет стремиться к нулю. В пределе он обратится в нуль, и тогда D_ln∆S—D_2n∆S = σ∆S. После сокращения на ∆S мы получим первое граничное условие:

или

Нормальная составляющая вектора электрической индукции на границе двух непроводящих сред претерпевает скачок, равный поверхностной плотности свободных зарядов, распределенных на границе.

Если σ = 0, то

Нормальная составляющая вектора D на границе непрерывна.

Для получения второго граничного условия проведем замкнутую линию L так, чтобы одна ее часть находилась в первом диэлектрике, другая — во втором. Зададимся направлением обхода по часовой стрелке и составим циркуляцию вектора напряженности по контуру 1-2-3-4. В электростатическом иоле циркуляция вектора Е равна нулю.

Представим циркуляцию в виде четырех линейных интегралов:

Если длина отрезка ∆1 невелика, то вектор Е можно считать одинаковым на всем отрезке. Тогда

Если отрезки 2-3 и 4-1 постепенно уменьшать так, чтобы в пределе они стали равными 1улю, а отрезки ∆1 совпали с граничной поверхностью, то остальные два интеграла обратятся в нуль и E_1τ∆l — E_2τ∆l = 0. После сокращения на ∆1 получим второе граничное условие:

На границе двух непроводящих сред касательные составляющие вектора напряженности электрического поля равны. Надо отметить, что на поверхности раздела двух сред потенциал непрерывен φ₁=φ

Если одна из сред проводящая, то граничные условия несколько изменятся. В проводящей среде векторы поля равны нулю, а потенциал всех точек проводника, один и тот же. Пусть первая среда диэлектрик с проницаемостью ε, вторая — проводник; тогда граничные условия запишутся следующим образом;