Распределение потенциалов и зарядов в системе проводящих тел. Группы формул максвелла.
При исследовании процессов в линиях электропередач может встретиться следующая задача. Даны несколько параллельных проводов. Взаимное их расположение и электрические заряды на них известны. Требуется определить потенциалы этих проводов. Обозначим потенциал произвольной точки р между проводами, обусловленный зарядом Qm одного из проводов, через φpm. Так как потенциал и заряд пропорциональны, то
Коэффициент Врт — величина постоянная.
Если число всех проводов обозначить п, то потенциал в точке р, обусловленный зарядами всех проводов, можно определить, пользуясь принципом наложения:
Если точку р выбрать на поверхности первого провода, то его потенциал
Аналогично можно записать потенциалы остальных проводов:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Предположим, что все заряды, кроме Ql равны нулю, a Qr = 1. Тогда φk= Вkl. Следовательно, коэффициент Вкl, численно равен потенциалу провода k, когда заряд провода l равен единице, а заряды остальных проводов равны нулю. Постоянные В называются потенциальными коэффициентами. Они всегда положительны. При перестановке индексов величина коэффициента не меняется; Вkl = Blk.
Если полученную систему уравнений решить относительно зарядов, то
Постоянные А называются емкостными коэффициентами. Связь между потенциальными и емкостными коэффициентами следующая;
где определитель системы
а алгебраическое дополнение
Коэффициенты А с одинаковыми индексами положительны; с различными индексами — отрицательны. При перестановке индексов величина коэффициента не меняется Аkl= Alk.
Пусть потенциал одного из проводов, например φl равен единице, а потенциал остальных проводов равен нулю, тогда Аkl = Qk. Следовательно, коэффициент Аkl численно равен заряду Qk, когда потенциал φl = 1, а потенциал остальных проводов равен нулю.
Систему уравнений можно записать и иначе:
где
Аналогично можно преобразовать и остальные уравнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
где
Коэффициенты С называются частичными емкостями. Если индексы у частичной емкости одинаковые, ее называют собственной частичной емкостью. Если индексы разные — взаимной частичной емкостью.
Частичные емкости всегда положительны. При изменении порядка индексов коэффициент не меняется Ckl = Clk.
Зная частичные емкости и потенциалы проводов, можно определить энергию электрического поля всей системы:
Коэффициенты А могут быть определены экспериментально. Зная их, можно подсчитать частичные емкости. Частичные емкости учитываются не только при расчете электростатических полей. Например, при исследовании процессов в электронных лампах, в полупроводниковых триодах учитывают частичные емкости между электродами.