6.2 Сила гидростатического давления

НА КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Силы давления, приходящиеся на элементарную площадку криволинейной поверхности и направленные к ней по нормали, имеют различные направления. Поэтому определяют сначала составляющие сил по координатным осям x, y, z и после этого находится равнодействующая трех проекций полной силы гидростатического давления.

P_о y

x dω_x

d h

dϜ_x dω_z

dϜ dω

α dϜ_z

z Рис. 6.2.1.

Рассмотрим задачу определения полной силы давления на цилиндрическую поверхность.

Над цилиндрической поверхностью находится жидкость, на свободную поверхность которой действует давление p_о (рис. 6.2.1.).

Выделим на цилиндрической поверхности площадку dω, расположенную на глубине h от свободной поверхности. Элементарную площадку рассмотрим как условно рассмотрим как плоскую, тогда элементарная полная сила гидростатического давления

dϜ = pdω = (p_о + ρgh)dω,

где p – гидростатическое давление жидкости на элементарную площадку.

Полная элементарная сила dϜ на площадку dω будет направлена по нормали к касательной в точке центра площадки и под углом α относительно горизонтальной оси 0x.

Разложим полную силу dϜ на горизонтальную dϜ_x и вертикальную dϜ_z составляющие

= +.

Горизонтальная составляющая

dϜ_x = dϜ= (p_о +ρgh).

Произведение dωможно считать как площадь проекции элементарной площадки dω на вертикальную плоскость, перпендикулярную оси 0x

dω= dω_x ;

dϜ_x = (p_о + ρgh)dω_x

Для нахождения горизонтальной составляющей силы давления суммируются величины элементарных сил dϜ по площади, т. е. берется интеграл по площади ω_x. ω_x – проекция площади цилиндрической поверхности на вертикальную плоскость y0z перпендикулярно оси 0x

Ϝ_x = =d + = (p₀ + ρgh_с)ω_x,

где h_с – расстояние от свободной поверхности до центра тяжести вертикальной проекции.

Определение силы Ϝ_x соответствует нахождению силы гидростатического давления на плоскую вертикальную поверхность.

Таким образом, горизонтальная составляющая силы гидростатического давления на цилиндрическую поверхность равна силе давления на вертикальную проекцию этой поверхности ω_x.

Вертикальная элементарная составляющая силы давления

dϜ_z = dϜ=pdω=(p₀ + ρgh)dω,

где dω- площадь проекции элементарной площадки dω на горизонтальную плоскость, перпендикулярную оси 0z

dω= dω_z .

следовательно

dϜ_z = p₀dω_z + ρghdω_z.

Для определения вертикальной составляющей силы давления на цилиндрическую поверхность интегрируем полученное выражение по площади ω_z.ω_z – проекция площади цилиндрической поверхности на горизонтальную плоскость x0y перпендикулярно оси 0z

Ϝ_z = =dω_z + dω_z.

Первый интеграл при постоянном давлении на свободную поверхность жидкости p₀ =const

dω_z.

Второй интеграл ρgdω_z представляет собой вес жидкости, опирающейся на цилиндрическую поверхность, ограниченную сверху свободной поверхностью. Объём жидкости dω_z называют телом давления W.

G = = ρgW.

Вертикальная составляющая силы гидростатического давления

Ϝ_z = p₀ω_z + ρgW.

Равнодействующая сила гидростатического давления

Ϝ = .

Следует отметить, что горизонтальная составляющая Ϝ_x проходит через центр тяжести эпюры давления на вертикальную проекцию цилиндрической поверхности ω_x.. Вертикальная составляющая Ϝ_z проходит через центр тяжести тела давления W.