6.3. Закон архимеда. Основы теории плавания

Закон Архимеда определяет силу давления жидкости на поверхность погруженного в него тела. Рассмотрим тело произвольной формы, погруженное в жидкость (рис. 6.3.1.).

p_а

x 5 6

ω_x

F_zg h₁ h₂

1 С

F_x3 3 4 F_x4

2

z F_zф Рис. 6.3.1.

На тело действуют горизонтальные и вертикальные силы гидростатического давления. Поверхность тела является криволинейно.

Горизонтальные силы F_x, действующие на поверхность тела при атмосферном давлении на свободную поверхность

F_x = p_с ω_x,

где ω_x – проекция криволинейных поверхностей 123 и 124 (разрез по сечению 1-2) относительно оси x.

Площадь ω_x для этих поверхностей одинакова, следовательно F_x3 = F_x4. Таким образом, горизонтальные силы взаимно уравновешиваются, в противном случае нарушилось бы состояние покоя погруженного тела.

Разделим тело на две половины: верхняя половина имеет поверхность 314, нижняя половина – поверхность 324. Вертикальные силы, действующие на криволинейные половины, определим, рассматривая тела давления, опирающиеся на их поверхности.

Действительное тело давления 13564 (W_Д) находится над верхней половиной поверхности, и вертикальная составляющая силы давления F_ZД направлена вниз. Фиктивное тело давления 23564 (W_ф) располагается над нижней половиной поверхности 324, а сила давления F_zф направлена вверх.

Равнодействующая сил давления

F = F_zф - F_zД = ρg(W_ф - W_Д) = - ρgW_Т.

Разность фиктивного и действительного объёмов – объём погруженного тела W_Т. Следовательно, на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости в объёме тела, направленная по вертикали вверх.

Это положение называется законом Архимеда. Выталкивающую силу называют архимедовой подъёмной силой жидкости. Объём W_Т жидкости, вытесненный телом, называется объёмным водоизмещением. Центр тяжести этого объёма получил название центра водоизмещения. Архимедова подъёмная силаF лежит в центре водоизмещения.

На твердое тело, погруженное в жидкость, действует две силы: сила тяжести G и подъёмная сила F. Соотношение этих сил определяет состояние тела

В случае, когда GF, твердое тело будет опускаться под уровень жидкости, т.е. тонуть.

Когда GF – тело всплывет.

Когда G = F – тело находится в погруженном (взвешенном состоянии, т.е. в плавучем состоянии).

Плавучестью тела называют способность тела находиться в погруженном состоянии.

Плавание тел разделяют на подводное и надводное. Подводное плавание, когда тело находится полностью в жидкости. При надводном плавание тело частично погружено в жидкость.

Линия пересечения боковой поверхности плавающего в надводном положении тела со свободной поверхностью жидкости называется ватерлинией (контур плавания).

Глубина погружения наинизшей точки тела в жидкость от ватрлинии – осадка плавающего тела.

Площадь тела, ограниченная ватерлинией, является площадью ватерлинии.

Условием равновесия тела при плавании является равенство нулю всех сил, действующих на тело, относительно осей координат. В случае неравенства моментов нулю происходит отклонение от положения равновесия. Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, восстановить свое первоначальное состояние, называется остойчивостью. Условия остойчивости различны при надводном и подводном плавании тела.

Рис. 6.3.2.

1. Остойчивость тела при подводном плавании (рис. 6.3.2.).

На тело действует сила тяжести, приложенная в центре его тяжести. Центр водоизмещения – точка d, в которой лежит подъёмная сила F.

В первом случае центр тяжести c находится выше центра водоизмещения d (рис. 6.3.2., а). Положение тела является неустойчивым.

В случае если центр тяжести с располагается ниже центра водоизмещения d (рис. 6.3.2., б), то в результате выведения тела из равновесия оно стремится вернуться в прежнее первоначальное состояние.

Когда центр тяжести с и центр водоизмещения d совпадают, тело находится в равновесии, т. е. плавающее в жидкости тело сохраняет любое положение при воздействии сил G и F (рис. 6.3.2., в)

2. Остойчивость тела при надводном плавании (рис. 6.3.3.)

Рис. 6.3.3.

Когда тело находится в надводном состоянии, при определении его остойчивости используется дополнительный центр, который называется метацентром.

Метацентр - точка М, точка пересечения оси 0-0 с вертикальной линией подъёмной силы. Метацентр изменяется в результате крена тела относительно оси 0-0 и свободной поверхности. Установлено, что при крене тела β не более чем 15положение метацентра не изменяется. При углеβ 15можно считать, что центр водоизмещенияd перемещается по радиусу r_м, описываемому из метацентра в результате крена тела.

При крене тела на угол β начальная точка центра d смещается по метацентрическому радиусу r_м.

Остойчивость тела зависит от положения метацентра, точка М.

Метацентр лежит выше точки центра тяжести тела. Момент от силы тяжести G в результате крена тела стремится вернуть тело в первоначальное положение равновесия. Момент от силы G будет направлен в сторону, обратную крену (рис.6.3.3. а).

Метацентр находится ниже центра тяжести. Момент от пары сил – силы тяжести G и подъёмной силы F – увеличит крен тела. Момент будет направлен по часовой стрелке, т. е. в сторону крена (рис. 6.3.3.б).

В случае когда метацентр совпадает с центром тяжести тела, имеет место безразличное неустойчивое состояние равновесия. Положение остойчивости тела в надводном состоянии характеризуется с помощью метацнтрической высоты h_м. Метацентрическая высота – высота от центра тяжести (точка с) до метацентра (точка М).

Расстояние между центром тяжести (с) и центром водоизмещения (d) называется эксцентриситетом е. поэтому эксцентриситет складывается из r_м и h_м

е=r_м + h_м.

Величина h_м считается положительной, если точка М будет располагаться выше точки с, и отрицательной, когда М будет находиться ниже точки с.

Положение тела будет устойчивым, когда метацентр М находится выше точки с, т. е. h_м 0 или r_мl.

Неостойчивое положение, когда центр ниже точки с, h_м 0 или r_м l.

Неостойчивое состояние равновесия имеет место при h_м = 0.

Метацентрический радиу r_м – радиус, описываемой из метацентра дуги окружности, по которой происходит перемещение центра водоизмещения при крене плавающего тела.

Метацентрический радиус r_м определяется по следующей формуле:

R_м = ,

где J₀ – момент инерции площади ватерлинии относительно горизонтальной продольной оси, проходящей через центр тяжести этой площади; W – объём водоизмещения плавающего тела.

Рассмотренные вопросы остойчивости важны для различных плавающих средств (понтоны,суда).