Осреднённые уравнения импульса и энергии

Ренольдс исходил из того, что нестационарные уравнения сохранения импульса и энергии справедливы для актуальных параметров турбулентного течения. Введем максимальное упрощение свойства не зависят от параметров, без массовых сил, работа сил давления, вязкая диссипация и внутренние источники тепла.

Поставляем значение и выполняем усреднение

–дивергенция по плотности потока импульса за счет турбулентности.

–плотность теплового потока, обусловленного турбулентными пульсациями скорости и температуры.

Так как при данных действиях у нас появилась новых 9 неизвестных, то появился вопрос о не замкнутости. Данную вещь решается с помощью эмпирических данных. Как например

Примерно так же мы и поступаем с законом сохранение энергии

Осреднённые уравнение в пограничном слои

Механизм турбулентного переноса импульса и методы его моделирования

Достаточно важная задача состоит определение характерного линейного масштаба при турбулентности. Обычно используется в качестве линейного масштаб энергонесущих вихрей имеет порядок характерного поперечного размера или толщена турбулентного пограничного слоя. Наилучшей вариант это выбор минимальный размер турбулентного вихря, который диссипирует благодаря вязкости. В качестве такого масштаба предложил Колмогоров, назвавший его Колмогоровский линейный масштаб.

Определим коэффициенты (n) и (m) составив уравнение размерности

Так как диссипация малых вихре означает, что на их масштабах силы инерции и вязкости примерно равны, тогда

Структура пристенной турбулентной области

Пограничный слой:

1. Вязкий подслой (0-) – слой, в котором преобладает молекулярный перенос импульса

2. Турбулентная часть пристенной турбулентной области () – слой, в котором перенос молекулярный соизмерим с переносом турбулентным.

3. Развитая турбулентность (0,2-0,5) – область абсолютной доминации турбулентного течение.

4. Область перемещаемости (0,5-) – область с режимами турбулентными и ламинарными.

Труба:

1. Вязкий подслой (0-)

2. Турбулентная часть пристенной турбулентной области ()

3. Турбулентное ядро

Мы принимаем, что в области от 0 до 0,2 , касательные напряжение равны касательным напряжением на стенки. Используя матрицу размерности получим следующее

Эту функцию впервые обосновал Прандтле

Моделирование переноса импульса в пристеночной турбулентной области

Рассмотрим двухмерное осредненное течение, где – длинная пути перемешивание, если она мала, то

Из общей закономерности при положительной изменение проекции (y), то соответственно пульсация (y) будет тоже положительной, но так более высокой области среднее скорость по (x) выше из-за чего пульсация (x) будет отрицательной, примерно тоже самая картина если рассматривать наоборот. В итоге получает, что независимого от происходящего пульсации на разных осях будут иметь разный знак, поэтому их произведение заведомо будет отрицательной.

Так как (l) достаточно мала, то касательное напряжение примерно равна

Было предложено Прандтлем следующее

Такая запись справедлива при y⁺ больше 11,7, при меньших значениях мы подаем в вязкий подслой, где касательные напряжение связанны жидкой вязкости

Из за малого размера вязкого подслоя, то усреднение по всему сечению трубы практически не даст добавки, длогодоря этому Прандтль получил следующее

Но это модель сильно уже устарело и имеет область при переходе из одной функции в другую. В данный момент времени существует достаточно много различных моделей как например модель Ван Дрийста