Оцінювання параметрів і перевірка статистичних гіпотез у випадку вибірок малого об’єму

З метою порівняння кількісних і якісних показників двох однотипних виробничих процесів A і B проведені вибірки (x₁, x₂, … , x_n) і (y₁, y₂, … , y_n) об’ємів n_x і n_y відповідно.

1 Для кожної вибірки оцінити математичне сподівання a і дисперсію σ² шляхом:

а) обчислення вибіркових середніх і , виправлених вибіркових дисперсій і ;

б) побудови довірчих інтервалів для математичних сподівань a_x і a_у та дисперсій і з надійністю γ = 0,95.

2 Допускаючи, що вибірки (x₁, x₂, … , x_n) і (y₁, y₂, … , y_n) здійснені з нормально розподілених генеральних сукупностей X і Y з параметрами (a_x, ) і (a_y, ) відповідно, при рівні значущості = 0,05:

а) користуючись критерієм Фішера, перевірити гіпотезу  =  і встановити, чи є один з виробничих процесів ефективнішим від іншого;

б) користуючись критерієм Стьюдента, перевірити гіпотезу a_x = a_у і встановити, чи можна вважати розбіжність між середніми і випадковою, чи вона є суттєвою і пов'язана з відмінністю виробничих процесів.

3 За допомогою критерію згоди Фішера (для малих вибірок) перевірити гіпотези про нормальний розподіл генеральних сукупностей X і Y.

Дані про роботу двох виробничих об’єктів необхідно вибрати із табл. 1.1-1.10 у відповідності з номером варіанту.

Таблиця 1.1 Продуктивності двох різних режимів роботи до і після удосконалення обробки деталей

№	Режим роботи	Кількість деталей за зміну
1	А	58	60	59	62	61	59	57	60		58
	В	60	60	59	62	62	62	61	62		60		61
2	А	43	46	46	45	45	48	46	46		48		46
	В	44	46	47	45	47	48	48	47		48
3	А	36	34	38	37	36	35	38	39		37		35
	В	39	38	38	37	37	37	38	39		38		39
4	А	52	54	50	51	54	51	50	50		52
	В	52	54	52	51	54	53	54	53		52
5	А	71	74	70	75	75	73	72	72		70
	В	72	74	72	75	75	73	72	73		71
6	А	64	69	63	64	70	68	70	67		66
	В	70	72	73	71	70	70	70	71
7	А	56	56	57	55	54	56	56	55
	В	59	57	57	58	57	58	56	56		58
8	А	49	50	47	50	50	49	50	47
	В	50	50	49	51	50	51	51	49
9	А	80	83	82	80	83	79	73	76
	В	82	83	82	83	83	82	84
10	А	71	69	69	70	67	65	66
	В	71	69	69	70	69	69	70	70

Таблиця 1.2 Середні заробітні плати на двох однотипних підприємствах

№	Підри- ємство	Середня заробітна плата за місяць (грн)
11	А	675	685	675	675	680	674	678	683		670		620
	В	675	685	680	675	680	680	680	684		681
12	А	590	592	620	625	612	630	615	624		622
	В	620	615	620	625	621	630	620	626		628		620
13	А	780	800	804	796	737	778	790	792		795		800
	В	780	800	804	796	810	814	816	810		820		820
14	А	662	654	670	672	624	615	639	660		662		625
	В	662	654	670	672	680	678	682	660		688		690
15	А	854	812	842	858	840	834	874	828		835
	В	854	855	842	858	865	870	874	865		868
16	А	702	704	707	705	684	690	710	698		690
	В	705	704	708	705	710	715	713	715
17	А	812	820	815	850	845	852	840	848
	В	834	838	835	850	848	852	840	848		850
18	А	735	742	748	735	700	680	690	702
	В	735	742	748	735	740	745	736	735
19	А	832	810	800	810	820	812	815
	В	832	820	800	810	828	822	815	820
20	А	908	920	892	922	928	905	928	910
	В	922	920	915	922	928	925	928

Таблиця 1.3 Середні удої молока в двох фермерських господарствах від однієї корови за день

№	г-во	Середні удої молока від однієї корови за день (л)
21	А	22,4	21,2	23,8	24,8	20,0	19,6	22,3	20,1		20,4		24,0
	В	22,4	21,2	23,8	24,8	23,6	24,8	23,5	23,8		23,4		24,0
22	А	19,8	21,2	20,8	20,2	20,6	19,6	19,4	20,8		20,4		19,8
	В	21,4	21,2	20,8	20,2	21,4	21,0	21,3	20,8		21,4
23	А	26,0	27,4	25,8	24,8	25,6	26,4	25,4	27,2		27,4
	В	26,2	27,4	26,8	27,4	25,6	27,5	25,4	27,0		27,2		26,0
24	А	22,4	22,9	20,4	22,8	20,6	20,0	22,2	22,1		21,0
	В	22,4	22,9	22,0	22,8	22,6	22,3	22,2	22,8
25	А	24,3	24,1	25,2	25,8	25,0	25,6	25,4	25,5
	В	24,3	24,1	23,0	22,2	25,0	25,6	22,4	22,0		22,6
26	А	28,4	28,0	28,2	28,4	28,5	28,5	28,3	28,4		28,3
	В	28,4	28,2	26,4	25,6	25,8	28,6	26,2	28,4		28,3
27	А	30,2	29,4	28,6	30,0	29,8	29,4	29,7	29,5		30,0
	В	26,4	29,4	28,6	28,4	29,8	27,8	29,7	27,2		27,5
28	А	21,0	21,5	21,2	21,8	21,4	21,5	21,3	21,2
	В	21,0	20,1	21,2	21,8	21,4	20,0	21,3	20,8
29	А	24,3	24,2	24,0	24,2	23,9	23,9	24,1
	В	23,0	23,8	22,1	24,2	23,9	22,9	24,1	22,0
30	А	26,0	26,4	26,8	26,2	25,8	26,2	26,4	25,8
	В	25,0	25,6	24,0	24,3	25,8	24,3	26,4

Таблиця 1.4 Середні врожайності пшениці в двох фермерських господарствах області

№	г-во	Середня врожайність пшениці за рік (ц/га)
31	А	39,8	39,0	38,4	40,8	41,7	39,2	40,7	41,1		42,2
	В	40,8	41,4	40,8	42,4	41,7	42,0	40,7	41,1		42,4		42,6
32	А	41,4	41,8	40,4	41,0	40,8	41,6	41,5	41,7		41,8		40,6
	В	41,4	39,4	39,7	41,0	40,6	39,2	41,5	39,8		41,8
33	А	46,4	46,8	48,3	47,5	45,2	47,6	48,5	46,4		45,5		45,8
	В	48,6	47,8	48,3	47,5	47,8	47,6	48,5	48,2		47,8		47,9
34	А	49,4	50,1	49,6	50,1	50,2	50,4	50,0	50,4		50,0		49,6
	В	49,4	48,4	49,6	49,2	50,2	48,2	49,0	50,4		48,8		48,1
35	А	42,0	40,4	39,8	39,0	38,4	38,9	40,9	41,0		41,5
	В	42,0	41,4	41,6	41,2	41,5	41,9	40,9	41,2		41,5
36	А	48,4	49,3	48,8	48,5	48,5	48,6	49,2	48,8
	В	48,4	49,3	47,0	47,2	47,9	48,6	47,2	48,0		49,5
37	А	40,2	42,4	41,3	43,1	42,0	39,8	43,5	43,0		42,6
	В	42,3	42,4	42,2	43,1	42,5	42,8	43,5	43,0
38	А	52,8	53,1	53,5	53,1	52,2	52,9	52,9	53,5
	В	51,9	52,8	53,5	50,2	50,0	52,9	50,7	53,5
39	А	56,8	56,2	56,4	57,0	56,5	56,8	56,7	56,5
	В	56,8	55,8	53,5	56,5	54,2	55,8	56,7
40	А	47,1	48,0	47,4	47,8	47,3	48,2	47,4
	В	45,1	48,0	47,4	46,4	45,2	48,2	45,0	47,4

Таблиця 1.5 Добові виручки двох продовольчих магазинів мікрорайону

№	Мага- зин	Добова виручка магазинів (грн)
41	А	5023	4970	4985	4974	5048	4996	5016	4978		4918		5028
	В	4676	4970	4985	4638	4720	4816	4935	4917		4918		5028
42	А	3718	3812	3716	3875	3788	3852	3794	3790		3802		3755
	В	3516	3728	3716	3792	3788	3746	3794	3775		3802
43	А	3112	2874	3095	3158	2818	3175	3114	2955		3118
	В	3184	3214	3184	3158	3125	3175	3114	3192		3118		3195
44	А	2926	3078	3012	3074	2996	3098	3076	3104		3098
	В	2926	3072	2584	3074	2812	3098	2702	3104		2616
45	А	4018	3993	4078	4053	3972	3978	3926	4012
	В	4018	3702	3718	4053	3604	3808	3926	3698		3874
46	А	2872	3094	3118	3173	2916	3102	2713	3090		2816
	В	3056	3094	3172	3173	3107	3155	3101	3090
47	А	6212	6176	6014	5936	5973	6088	6113	5902
	В	6212	6202	6173	6114	6154	6088	6113
48	А	4099	4174	4101	4008	4155	4092	4150
	В	4099	3812	3879	3914	4155	3972	3715	4150
49	А	2712	2930	3093	2614	2912	2516	3001
	В	2918	2930	3093	2903	2912	2920	3001	2910
50	А	5026	4816	5073	4890	4818	4792	5098	5012
	В	5026	5092	5073	5014	5090	5017	5098	5012

Таблиця 1.6 Витрати бензину на 1000 км пробігу легкових автомобілів двох типів

№	Тип авто-мобіля	Витрати бензину на 1000 км пробігу (л)
51	А	80	78	79	75	80	78	81	77		79		80
	В	80	78	79	79	80	78	81	79		79		80
52	А	90	90	89	89	91	91	90	89		91		90
	В	86	89	88	86	85	86	87	88		90
53	А	77	79	81	78	81	79	80	79		78
	В	80	79	81	81	81	80	80	80		80		81
54	А	60	58	59	61	59	58	61	59		59
	В	60	61	61	61	60	59	61	60		59
55	А	88	87	87	88	86	87	87	88		83
	В	84	87	85	86	86	85	83	87
56	А	72	70	69	69	71	72	70	71		70
	В	72	70	71	72	72	72	71	71
57	А	70	71	70	70	69	70	70	71
	В	70	70	68	69	67	70	70	68
58	А	64	65	65	65	63	64	63	65
	В	64	61	64	65	62	61	63	65
59	А	78	74	77	72	76	77	73	76
	В	78	76	77	75	76	77	76
60	А	90	93	93	92	91	91	92	92
	В	90	91	93	92	91	89	90

Таблиця 1.7 Ріст ВВП у двох країнах регіону

№	Країна	Ріст ВВП у двох країнах регіону (в % до минулого року)
61	А	5,7	5,5	5,7	5,6	5,6	5,7	5,6	5,7		5,6			5,5
	В	5,7	5,5	5,4	5,5	5,4	5,7	5,3	5,7		5,2			5,5
62	А	7,1	7,0	7,0	6,9	7,1	7,0	7,0	7,2		7,0			7,0
	В	7,0	7,0	6,6	6,8	7,1	7,0	6,6	7,1		7,0
63	А	3,5	3,7	3,7	3,5	3,4	3,5	3,7	3,6		3,7			3,5
	В	3,5	3,0	3,0	3,5	3,4	3,5	3,6	3,6		3,4
64	А	3,2	3,7	3,2	3,4	3,3	3,8	6,0	2,7		2,8
	В	3,5	3,7	3,4	3,4	3,3	3,7	6,0	3,8		3,6
65	А	1,8	2,4	2,8	2,7	1,6	1,7	3,8	4,2		4,4
	В	3,5	3,0	2,8	2,7	3,2	3,4	3,8	4,4
66	А	10,1	9,3	9,7	9,2	10,2	9,8	9,5	10,0		9,8
	В	10,1	8,5	7,5	9,2	10,2	7,3	7,8	10,0
67	А	15,2	14,8	13,9	15,0	14,5	14,2	14,8	14,3
	В	16,2	14,8	13,9	15,8	14,6	15,2	15,8	16,2
68	А	1,6	2,5	2,4	3,5	2,0	2,2	3,7	4,2
	В	2,1	2,5	2,6	3,5	2,8	2,7	3,7
69	А	9,8	9,3	8,5	8,2	8,5	8,6	8,0
	В	12,2	9,3	10,2	13,6	8,5	8,6	8,0	11,5
70	А	12,1	12,3	15,5	16,2	13,0	14,5	14,0
	В	12,1	9,3	13,0	14,4	13,0	14,5	10,8	13,5

Таблиця 1.8 Ріст об’ємів основних фондів на двох однотипних підприємствах

№	Під- приєм- ство	Ріст об’ємів основних фондів на підприємствах (в % до минулого року)
71	А	2,1	1,7	1,5	2,3	1,8	2,4	2,5	2,0		2,1		2,4
	В	1,4	1,7	1,5	1,5	1,8	1,4	1,7	2,0		1,5		1,7
72	А	2,1	3,2	3,5	2,5	2,3	3,2	3,8	2,9		2,3		2,4
	В	2,1	2,4	3,0	2,5	2,3	2,4	2,2	2,5		2,3
73	А	2,4	2,5	2,7	2,6	2,4	2,7	3,1	2,6		3,2		2,4
	В	2,4	2,0	2,7	2,6	2,2	2,7	2,5	2,6		2,4
74	А	4,3	4,0	3,8	3,9	4,2	4,1	3,8	3,6		4,0		3,9
	В	4,3	3,1	3,7	3,9	4,0	4,1	3,2	2,2		4,0
75	А	2,7	2,2	2,3	2,8	3,1	2,5	3,0	2,7		2,5
	В	2,2	2,2	2,1	2,3	3,1	2,5	3,0	1,8		2,5
76	А	3,2	3,6	4,3	3,2	3,3	3,5	3,3	4,0		3,6
	В	2,8	3,4	4,3	2,9	3,3	3,5	3,3	4,0
77	А	3,0	3,2	3,3	2,5	4,2	4,0	3,1	3,5
	В	3,0	3,2	3,6	3,3	4,4	4,2	3,4	3,5		3,3
78	А	3,4	4,0	4,3	4,7	3,5	3,4	3,4	3,8
	В	3,0	3,2	4,3	4,7	3,2	3,4	3,4	3,8
79	А	3,8	3,2	3,9	3,4	4,8	4,5	3,5	3,2
	В	3,5	3,2	3,7	3,4	3,5	3,3	3,4
80	А	7,2	7,7	7,5	7,1	7,0	7,6	7,4	7,2
	В	9,1	7,7	7,5	7,1	7,5	7,6	7,4

Таблиця 1.9 Ріст прибутку двох однотипних фірм

№	Фір-ма	Ріст прибутку фірми (в % до попереднього місяцю)
81	А	3,2	3,8	3,8	4,5	3,7	3,5	3,2	4,3		4,3		3,9
	В	3,5	3,8	4,2	4,5	3,7	4,4	3,9	4,3		4,4		3,9
82	А	13,3	12,8	12,3	11,5	11,2	10,7	10,3	11,9		11,4		11,0
	В	11,1	12,8	12,3	11,2	10,2	10,7	10,1	11,2		11,4
83	А	8,2	9,5	8,6	8,2	9,3	8,2	9,0	8,3		9,0		8,7
	В	8,2	7,4	8,6	7,2	8,3	8,2	8,0	7,2		8,7
84	А	9,3	8,0	8,8	9,2	9,5	8,4	9,2	8,7		8,9
	В	10,4	8,4	8,8	9,2	9,6	8,4	9,2	9,0		8,9
85	А	3,5	4,4	4,3	3,2	3,3	3,7	4,5	3,7		3,9
	В	3,5	3,2	3,0	3,2	3,3	3,7	3,9	3,3
86	А	3,5	4,8	4,2	4,0	3,9	3,6	4,3	4,0		5,8
	В	4,0	4,8	4,4	4,5	4,1	4,1	4,3	4,1
87	А	3,8	3,2	3,9	4,6	4,4	3,2	3,5	4,1		3,9
	В	3,8	3,9	4,3	4,6	4,4	3,9	3,9	4,1
88	А	12,1	11,5	10,0	11,4	10,5	10,8	11,9	12,0
	В	11,1	10,4	9,2	11,4	10,5	10,8	11,0	9,1
89	А	2,5	3,4	3,4	2,9	2,6	3,5	2,8	2,9
	В	2,5	2,7	2,8	2,9	2,6	2,9	2,8
90	А	4,4	6,2	4,7	4,8	4,2	4,5	4,2
	В	5,0	6,2	4,7	4,8	4,7	4,5	4,8	4,6

Таблиця 1.10 Кращі результати стрибків у довжину двох легкоатлетів на різних змаганнях

№	Атлет	Кращий результат стрибків у довжину (см)
91	А	795	790	796	792	800	789	804	798		802		805
	В	804	790	796	792	816	789	888	799		890		818
92	А	833	830	832	837	834	832	835	836		835		833
	В	832	830	815	822	827	832	835	836		825
93	А	773	787	792	779	783	790	773	784		778		788
	В	788	794	792	785	783	791	789	784		780		792
94	А	760	760	765	748	744	761	755	761		759
	В	768	760	765	762	764	761	766	761		767
95	А	801	805	795	789	804	802	796	800		798
	В	805	805	796	789	804	805	796	808
96	А	810	812	814	815	811	808	810	815
	В	812	812	816	816	811	716	816	818		817
97	А	835	827	832	830	834	830	831	835
	В	820	827	832	827	822	830	817	825
98	А	793	798	802	801	808	791	788	803
	В	798	805	808	801	808	800	799	803
99	А	823	827	829	825	822	824	827
	В	823	817	818	825	823	810	817	809
100	А	831	828	830	832	829	836	832	835
	В	832	828	835	832	830	836	832