Тема 8. Применение дифференциального исчисления для исследования функций (2 занятия)

Занятие 1

Вопросы для обсуждения

1. Теорема Ферма, геометрический смысл. Критические точки функции.

2. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

3. Правило Лопиталя.

4. Исследование функций на возрастание (убывание).

Практические задания

[1], с. 254, №№16-19; [2], №№1101-1193.

Контрольные вопросы

1. Какими свойствами должна обладать функция в точке x₀ и в ее окрестности для того, чтобы в ней можно было применить теорему Ферма? Как называется точка, если в ней выполняется теорема Ферма для функции y=f(x)?

2. Сформулируйте условия, при которых на отрезке [a, b] к функции y=f(x) применима теорема Ролля?

3. В чем состоит геометрический смысл теоремы Лагранжа?

4. В каких случаях при вычислении пределов можно применять правило Лопиталя?

5. Выберите верное утверждение:

а) Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то в этой точке производная функции равна нулю;

б) Если в точке производная функции равна нулю, то в этой точке функция имеет экстремум.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Экстремумы функций.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№1194-1221.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.195-218.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Занятие 2

Вопросы для обсуждения

1. Исследование функций на экстремум.

2. Исследование кривых на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

3. Полное исследование функции и построение графиков.

4. Темпы изменения функции.

5. Наибольшее и наименьшее значение на отрезке. Решение экономических задач.

Практические задания

[1], с. 254, №№19-21; [2], №№1246-1257.

Контрольные вопросы

1. Какие условия должны выполняться для функции f(x), чтобы ее точка была критической?

2. Какая кривая называется выпуклой (вогнутой) в интервале (a, b)?

3. Какая точка графика называется точкой перегиба?

4. Сформулируйте достаточные условия выпуклости, вогнутости кривых, необходимые условия существования точки перегиба.

5. Назовите виды точек перегиба и сформулируйте условия, при которых имеет тот или иной вид точки перегиба.

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Темпы изменения функций.

Задания для самостоятельной работы

[2], №№1258-1262.

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1. / Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.218-249.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.

Тема 9. Применение дифференциального исчисления в экономических исследованиях (1 занятие)

Вопросы для обсуждения

1. Производственные функции. Экономически обу­словленная область определения производственных функций.

2. Эластичность функции. Экономическая оценка.

3. Исследование динамики производственных функций, построение их графиков, экономический анализ.

4. Решение задачи на определение максимальной прибыли.

Практические задания

[1], с. 327, №№1-5, 7, 8, 11, 12.

Контрольные вопросы

1. Дать понятие производственной функции.

2. Дать понятия полных, средних, предель­ных издержек. Каков экономический смысл предельных издержек.

3. Что называется эластичностью функции?

4. Какая функция называется эластичной, неэластичной, нейтральной, совершенно неэластичной, совершенно эластичной?

5. Дать понятия функций спроса и предложения.

6. Дать понятия полной и предельной выручек. Каков экономический смысл предельной выручки?

7. Что называется ценой равновесия?

8. Как определить темпы возрастания и убывания функции?

9. Сформулируйте условия достижения максимальной прибыли.

10. Какие кривые называются кривыми безразличия?

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Производственные функции: функции спроса, предложения, функции полных, средних, предель­ных издержек; полная, средняя, предельная выручка, прибыль.

2. Эластичность функ­ции, ее экономический смысл. Свойства эластичности. Эластичность спроса и предложения.

3. Исследование динамики полной выручки в зависимости от эластичности спроса. Исследование динамики функций полных, предельных, средних из­держек, экономический анализ.

4. Условия достижения максимальной прибыли.

5. Функция полезности.

6. Кривые безразличия.

Задания для самостоятельной работы

[1], с. 327, №№6, 9, 10, 13

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч.1/ Под ред. Р.Ш. Марданова.- Казань: Изд-во КГФЭИ, 2001.-С.304-325

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.- М.: Изд-во Физико-математической литературы, 2004.