Lucrare de laborator nr. 2 Aplicarea Teoremei Integrale Moivre-Laplace. Teorema lui Bernulli.

3° Teorema integrala a lui Moivre-Laplace. Fie ca se face un sir de experimente independente, astfel ca in fiecare experiment probabilitatea de realizare a evenimentului A este p. Daca este numarul de aparitii ale lui A in primele n experimente, atunci pentru orice avem

sau pentru orice interval

E usor de inteles ca unde este numarul de aparitii ale evenimentului A in experiment de rang i.

4° Teorema locala a lui Moivre-Laplace. Fie numarul de apariţii ale unui eveniment A in n experimente indepetidente şi p probabilitatea acestui eveniment in fiecare experiment. Atunci, pentru

unde

Aceasta teorema ne da o formula asimptotica, prin inlermediul careia pulem aproxima formula lui Bernuli/repartitia binomiala prin cea normala cand n este suficient de mare:

Într-o serie n de experimente independente, în fiecare din care evenimentul A apare cu una şi aceeaşi probabilitate p (0 <p <1), în conformitate cu teorema Moivre-Laplace este adevărată egalitatea:

, (2.1)

unde k- numărul de realizări ale evenimentului A, în rezultatul a n experimente; Φ (x) - Funcţia Laplace definită prin integrală.

(2.2)

Aplicînd teorema integrală a lui Moivre-Laplace pentru estimarea probabilităţii inegalităţii

unde ε – constantă pozitivă, vom obţine

şi în virtutea Teoremei Moivre-Laplace vom regăsi teorema lui Bernulli

(2.3)

2° Teorema lui Bernoulli. Fie numarul de aparitii ale unui eveniment A in n experimente independente şi p - probabilitatea de realizare a lui A in fiecare experiment. Atunci, pentru orice

sau, echivalent,

Sa consideram variabila aleatoare care ia ca valori numarul de realizari ale evenimentului A in experimentul de rang i - deci repartitia sa este

Evident ca

Deoarece are aceeasi repartitie ca si rezulta:

Atunci, in virtutea teoremei lui Cebasev, avem

In concluzie, putem spune ca teorema lui Bernoulli este o consecinta a teoremei lui Cebaşev.

Acest rezultat clasic poate fi formulat si in felul urmator:

şirul de variabile aleatoare converge in probabilitate catre probabilitatea p (in aceasta formulare cuvîntul „probabilitate" intervine in doua sensuri diferite): Vom scrie _.

In condifiile teoremei lui Bernoulli, E. Borel in 1909 a aratat un rezultat mai profund şi anume ca

Teorema lui Bernoulli explica stabilitatea frecventei relative pentru un numar mare de experimente, iar probabilitatea se dezvaluie ca un punct de condensare a frecventelor relative.

Aceasta teorema sintetizeaza legatura dintre frecventa relativa si probabilitate, care sta la baza axiomatizarii moderne a teoriei probabilitatilor.

Teorema lui Bernulli şi multiplele ei generalizări sunt printre cele mai importante teoreme ale probabilităţii. Anume prin ele teoria are tangenţe cu practica, în ele este pusă baza pentru aplicarea cu succes a teoriei probabilităţii în diverse probleme de ştiinţă şi tehnologie.