Probleme tipice care conduc la aplicarea teoremei lui Moivre-Laplace.

Sarcina 2.1. Sunt date numărul de experimente n şi un eveniment de succes A, care are aceeaşi probabilitate de apariţie p, pentru fiecare experiment. Se cunoaşte că probabilitatea evenimentului A se va realiza exact de k ori. De determinat probabilitatea că numărul de succese k va fi în limitele ,

=≈

≈ (2.4)

În condiţiile Sarcinii 1.2 să se determine probabilitatea că se vor defecta nu mai puţin de şi nu mai mult de articole. Fie n = 10000, p = 0,005, Această probabilitate este egală cu

====

Sarcina 2.2. Fie că sînt date numerele n, p, α. Determinaţi probabilitatea că frecvenţa relativă de apariţie a evenimentului A se va abate de la probabilitatea p nu mai mult decât cu α. =≈2Ф( (2.5)

Fie n = 1500, p = 0,4, α = 0,02, atunci

2 Ф (=0,8859.

Sarcina 2.3. Fie că sînt date numerele p, α, β. Este necesar de a determina cel mai mic număr n de experimente care urmează să fie efectuate, astfel încît, cu probabilitatea nu mai mică decît β, frecvenţa relativă de apariţii a succesului evenimentului aleator A, să se abată de la probabilitatea p nu mai mult decît cu α. Trebuie să găsim n din condiţia

Având în vedere (2.5), problema constă în determinarea numărului n din inegalitatea

2 Ф (.

Fie p=, α=0,01, β=0,995, atunci 2 Ф (=0,995, n=18500 Sarcina 2.4. Fie că sînt date numerele p, n, β. De determinat graniţele eventualelor abateri a frecvenţei de apariţie a succesului evenimentului aleator A, în raport cu probabilitatea p, adică trebuie de găsit α, pentru care .

Conform exemplului anterior =2 Ф (=β. De aici definim α.

Fie n=1200, p=, β=0,985, atunci 0,985.

Exprimînd partea stîngă a egalităţii în baza teoremei integrale de Moivre-Laplace prin

2 Ф (, obţinem Ф (=0,4825. Din Anexa A determinăm că x=2.15, or, 73,5α=2.15. De unde α≈0,03, adică sau 746 <k <835.

Sarcina 2.5. În iaz au fost lăsaţi M peşti marcaţi. În curînd din acest iaz au fost prinşi n peşti, printre care k erau marcaţi. De determinat numărul total de peşti în iaz cu probabilitatea p. Fie M = 100, n = 400, k = 5, p = 0,9. Găsiţi N. Soluţie:

0,9 (2.6)

În baza teoremei integrale Moivre-Laplace (2.5),

=≈2Ф( (2.5)

avem

2 Ф (, sau , de unde din Tabelul din Anexa A , obţinem valoarea lui x, pentru care Ф(x)=0.45. Şi deoarece Ф(x) este monotonă nedescrescătoare obţinem , adică

(2.7)

Prin urmare, cu o probabilitate nu mai mică de 0,9 din (2.6) şi (2.7) se obţine

-66<N-8000<66. Presupunînd că , găsim pentru prima inegalitate , adică z<127,8. Pentru inegalitatea din în mod analogic obţinem , z>61,8. Astfel, sau

SARCINĂ Pentru a efectua lucrarea de laborator nr. 2 - a obţine abilităţi de lucru cu Teorema lui Bernuli şi a teoremei integrale a lui Moivre-Laplace. Date iniţiale. Fie că se efectuează n experimente independente şi fiecare dintre ele pune în evidenţă un eveniment A cu aceeaşi probabilitate de apariţie p. Se ştie că evenimentul A poate să se realizeze exact de k ori.

Este necesar de precăutat şi executat toate sarcinile 2.1-2.5 pentru datele variantului de lucru.

Pentru efectuarea calculelor este necesară definirea parametrilor iniţiali. În continuare sunt prezentate succint problemele care urmează să fie rezolvate. Alăturat găsiţi descrierea datelor iniţiale.

Determinaţi

1. probabilitatea ca numărul de succese k în n experimente, cu probabilitatea de succes p, va fi în intervalul [k₁, k₂];

Datele iniţiale sunt: n - numărul de experimente, p - probabilitatea de succes la fiecare experiment, k₁, k₂ – limitele de sus şi de jos ale intervalului în care urmează numărul de succese k să fie prezent.

2. probabilitatea că frecvenţa relativă a apariţiei unui eveniment aleator A se va abate de la probabilitatea p nu mai mult decât α;

Datele iniţiale sunt: n-numărul de experimente, p - probabilitatea de succes la fiecare experiment a evenimentului aleator A, α - valoarea abaterii frecvenţei relative de probabilitatea p;

3. cel mai mic număr de n experimente, care trebuie să fie produse pentru ca, cu o probabilitate nu mai mică decît β, frecvenţa relativă , de apariţie a succesului evenimentului aleator A, să devieze de la probabilitatea p, nu mai mult decât cu α;

Datele iniţiale sunt: p - probabilitatea de succes a evenimentului aleator A la fiecare experiment, α - abaterea frecvenţei relative de la probabilitate p, β - probabilitate.

4. limitele posibilele, de sus şi de jos, ale intervalului în care urmează să se afle frecvenţa relativă de apariţie a succesului evenimentului aleator A cese realizază cu probabilitatea p, prin aplicarea pentru aceasta a teoremei integrale a lui Moivre-Laplace. Datele iniţiale sunt: N-total de experimente, n - numărul de experimente în care apare cu succes evenimentul aleator A, p - probabilitatea evenimentului A.

Notă: În procesul de calcul, se va apela la Tabelele din Anexa A1 şi Anexa A2. La ieşire urmează să fie obţinute rezultatele reprezentate sub forma unui tabel special, pentru fiecare caz separat.

Date iniţiale pentru sarcina 2.1

Nr. var.	n	p
1	10000	0,08	70	100
2	10000	0,08	7960	8040
3	10000	0,006	55	150
4	15000	0,25	183	413
5	12000	0,005	0	80
6	12000	0,25	230	685
7	11000	0,05	425	700
8	13000	0,35	55	135
9	9000	0,15	100	150
10	13500	0,02	90	200
11	12500	0,07	0	100

Nr. var.	n	p
12	8000	0,1	30	200
13	10500	0,25	200	400
14	10300	0,15	150	250
15	9500	0,25	500	1000
16	10000	0,98	9765	9814
17	8000	0,01	10	200
18	10500	0,258	200	400
19	10300	0,158	150	250
20	9500	0,259	500	1000
21	10000	0,989	9765	9814
22	10300	0,25	150	250
Nr. var.	n	P
23	9500	0,75	500	1000
24	9500	0,75	500	1000
25	10000	0,989	9765	9814
26	10000	0,889	70	100
27	10000	0,935	7960	8040
28	10000	0,056	55	150
29	15000	0,75	183	413
30	12000	0,075	0	80
31	12000	0,55	230	685
32	11000	0,057	425	700
33	13000	0,357	55	135
34	9000	0,157	100	150
35	13500	0,027	90	200
36	12500	0,077	0	100
37	9500	0,253	500	1000
38	9500	0,253	500	1000
39	10000	0,982	9765	9814
40	10000	0,082	70	100
41	10000	0,023	7960	8040
42	10000	0,036	55	150
43	15000	0,351	183	413
44	12000	0,015	0	80
45	12000	0,125	230	685
46	11000	0,051	425	700
47	13000	0,352	55	135
48	9000	0,151	100	150

Date iniţiale pentru sarcina 2.2

Nr. var.	n	p	α
1	9000	0,015	0,005
2	10000	0,75	0,01
3	650	1/6	0,01
4	24000	0,5	0,0005
5	6200	0,25	0,05
6	4000	0,3	0,01
7	1200	2/3	0,03
8	18500	3/8	0,01
9	1900	0,3	0,01
10	10000	0,5	0,001
11	12000	1/6	0,005
12	16650	0,5	0,01
13	1000	0,1	0,05
Nr. var.	n	p	α
14	1500	0,8	0,02
15	750	1/3	0,01
16	1300	0,4	0,05
17	1500	0,08	0,02
18	750	0.033	0,01
19	1300	0,45	0,05
20	9000	0,025	0,005
21	10000	0,175	0,01
22	650	1/7	0,01
24	24000	0,55	0,0005
25	6200	0,255	0,05
26	4000	0,35	0,01
27	1200	2/5	0,03
28	18500	5/8	0,01
29	1900	0,03	0,01
30	10000	0,05	0,001
31	12000	1/7	0,005
32	16650	0,59	0,01
33	1000	0,19	0,05
34	1500	0,89	0,02
35	750	7/9	0,01
36	1300	0,14	0,05
37	1500	0,18	0,02
38	750	2/5	0,01
39	1300	0,54	0,05
40	9000	0,025	0,005
41	10000	0,85	0,01
42	650	4/7	0,01
43	24000	0,75	0,0005
44	6200	0,335	0,05
45	4000	0,23	0,01
46	1200	5/8	0,03
47	18500	7/8	0,01
48	1900	0,83	0,01

Datele iniţiale pentru problema 2.3

Nr. var.	p	α	β
1	0,4	0,02	0,886
2	2/3	0,01	0,985
3	3/8	0,05	0,99
4	0,5	0,01	0,99
5	1/6	0,03	0,95
Nr. var.	n	α	β
6	0,015	0,005	0,807
7	0,015	0,005	0,697
8	0,95	0,02	0,9648
9	0,9	0,01	0,9555
10	0,68	0,05	0,8664
11	0,6	0,02	0,798
12	0,7	0,04	0,9973
13	0,3	0,01	0,857
14	0,4	0,05	0,7510
15	0,5	0,001	0,9865
16	0,6	0,05	0,955
17	0,025	0,005	0,817
18	0,035	0,005	0,597
19	0,96	0,02	0,955
20	0,92	0,015	0,975
21	0,69	0,05	0,7764
22	0,65	0,02	0,778
24	0,75	0,04	0,9783
25	0,35	0,01	0,887
26	0,45	0,05	0,7710
27	0,55	0,001	0,9876
28	0,65	0,05	0,995
29	0,02	0,005	0,897
30	0,017	0,005	0,699
31	0,953	0,02	0,9748
32	0,93	0,01	0,9275
33	0,78	0,05	0,8224
34	0,66	0,02	0,728
35	0,76	0,04	0,9223
36	0,36	0,01	0,821
37	0,46	0,05	0,7211
38	0,56	0,001	0,9235
39	0,66	0,05	0,915
40	0,065	0,005	0,837
41	0,035	0,005	0,627
42	0,935	0,02	0,9158
43	0,93	0,01	0,9421
44	0,653	0,05	0,8214
45	0,63	0,02	0,7282
46	0,73	0,04	0,9123
47	0,33	0,01	0,8171
48	0,43	0,05	0,7240

Datele iniţiale pentru sarcina 2.4

Nr. var.	n	p	β
1	10000	0,7	0,9973
2		0,005	0,99
3	45000	1/3	0,9545
4	18500	3/8	0,995
5	12000	0,7	0,985
6	1500	0,4	0,8859
7	900	0,5	0,7698
8	10000	0,75	0,979
9	9000	0,5	0,9554
10	10000	1/6	0,945
11	1000	0,25	0,9845
12	6150	0,25	0,95
13	400	0,8	0,99
14	900	0,9	0,95
15	4750	0,05	0,95
16	8000	1/6	0,9945
17	10000	0,85	0,9273
18		0,055	0,912
19	45000	2/3	0,9145
20	18500	5/8	0,997
21	12000	0,65	0,985
22	1500	0,54	0,8755
24	900	0,53	0,8678
25	10000	0,453	0,929
26	9000	0,345	0,9894
27	10000	5/6	0,947
28	1000	0,45	0,9945
29	6150	0,35	0,94
30	400	0,23	0,97
31	900	0,95	0,99
32	4750	0,058	0,98
33	8000	7/9	0,9145
34	10000	0,78	0,9273
35		0,003	0,911
36	45000	2/3	0,9245
37	18500	3/7	0,915
38	12000	0,77	0,935
39	1500	0,47	0,8459
40	900	0,57	0,6638
41	10000	0,775	0,959
42	9000	0,57	0,9284
Nr. var.	n	p	β
43	10000	5/6	0,985
44	1000	0,125	0,9915
45	6150	0,325	0,953
46	400	0,866	0,996
47	900	0,936	0,965
48	4750	0,053	0,955

Datele iniţiale pentru sarcina 2.5

Nr. var.	M	n	k	p
1	100	400	5	0,5
2	1000	150	10	0,955
3	1000	150	10	0,75
4	1000	200	10	0,945
5	500	300	8	0,865
6	2000	300	15	0,95
7	800	200	10	0,9
8	400	300	20	0,888
9	1000	500	20	0,898
10	3000	400	15	0,75
11	3000	300	30	0,9
12	1000	250	10	0,85
13	1300	500	25	0,95
14	1400	400	20	0,88
15	1000	500	30	0,8
16	800	400	40	0,875
17	100	400	10	0,52
18	1000	150	15	0,925
19	1000	150	15	0,752
Nr. var.	M	n	k	p
20	1000	200	15	0,915
21	500	300	15	0,815
22	2000	300	25	0,951
24	800	200	20	0,911
25	400	300	15	0,988
26	1000	500	15	0,998
27	3000	400	20	0,975
28	3000	300	35	0,99
29	1000	250	15	0,985
30	1300	500	15	0,995
31	1400	400	25	0,988
32	1000	500	15	0,98
33	800	400	25	0,975
34	100	400	25	0,95
35	1000	150	20	0,965
36	1000	150	20	0,765
37	1000	200	20	0,965
38	500	300	28	0,965
39	2000	300	25	0,995
40	800	200	20	0,991
41	400	300	10	0,898
42	1000	500	10	0,998
43	3000	400	25	0,795
44	3000	300	40	0,954
45	1000	250	10	0,885
46	1300	500	25	0,995
47	1400	400	30	0,888
48	1000	500	40	0,898