Распад радиоактивного элемента

Задача. Пусть короткоживущий радиоактивный элемент А, распадаясь, создает долгоживущий, но также распадающийся элемент В.

 Для решения задачи необходимо:

1) Определить единицы массы (грамм) и времени (год): и начальную массу элемента А0=100gm. Тогда время жизни элемента А выражается формулой: thalfA=10yr, а время жизни элемента В: thalfВ=100yr.

2) Ввести коэффициент отношения атомарных весов: =1,1 и постоянные распада элементов: , . Тогда временная функция распада элемента А выражается формулой: , .

3) Ввести ранжированную переменную t от 0yr до 120yr с шагом 2yr.

Построить график, иллюстрирующий временные функции распада элементов А и В.

Колебания и резонанс в механической системе

Рассмотрим пример, описывающие поведение механической системы под воздействием внешнего гармонического колебания. Поведение системы определяется амплитудой Ym вынужденных колебаний системы и сдвигом по фазе a колебаний системы относительно внешних колебаний. Эти параметры зависят от частоты внешних колебаний w и коэффициента затухания системы .

 Задача. Пусть на механическую систему с массой m=0,1 и частотой собственного резонанса w0=1 действует косинусоидальное воздействие с максимальной силой Fm=1. Явление резкого возрастания амплитуды колебаний в колебательных системах, на которые воздействуют внешние колебания с частотами, близкими к частоте собственных колебаний системы, называется резонансом. А частота собственных колебаний поэтому часто называется резонансной. Если коэффициент затухания системы , то амплитуда колебаний и аргумент (фаза) определяются по формулам:

Зададим вектор w как ранжированную переменную, изменяющуюся от 0,5 до 1,5 с шагом 0,05. Тогда временная зависимость вынужденных колебаний определяется выражением

.

Построить на одном графике зависимости амплитуды вынужденных колебаний системы от частоты при трех значениях затухания, равных 0,2; 0,4 и 1. Построить на одном графике зависимости фазы вынужденных колебаний системы от частоты при трех значениях затухания, равных 0,2; 0,4 и 1.

Обработка результатов эксперимента Экспериментальная проверка закона Стефана-Больцмана

Задача. Рассмотрим обработку результатов конкретного опыта. В лабораторной работе на специальной установке экспериментально определялась зависимость мощности излучения нити лампы накаливания от ее температуры. Измерялась потребляемая лампой накаливания мощность, примерно пропорциональная излучаемой мощности (P = RS, здесь S – площадь излучающей поверхности, R – энергетическая светимость нити накала лампы) и температура нити. Излучающая площадь нитей накаливания S – равна 1см².

При работе на этой установке была получена следующая зависимость

t,C	700	800	900	1000	1100	1200	1300	1400	1500	1600	1700
P, Вт	11	17	23	35	47	61	82	105	130	170	210

Где P – мощность излучения лампы.

Необходимо обработать эти данные методом наименьших квадратов, найти значения  и n и проверить, выполняется ли закон Стефана-Больцмана.

 1) Задать векторы T и P с исходными данными: первая и вторая строка таблицы соответственно.

2) Переведем температуру в градусы Кельвина: для этого зададим ранжированную переменную i от 0 до 10 (по числу температур в таблице) и зададим TK_i = T_i+273.

Для аппроксимации нашей зависимости применим кубическую сплайн-интерполяцию, которая позволит нам найти функцию, проходящую через полученные точки.

3) Определить вектор VS вторых производных аппроксимирующей кривой в заданных точках.

4) Задать диапазон изменения температуры L от 900 до 2000 с шагом 10.

5) Найти аппроксимирующую кривую Yint(L), используя функцию interp.

6) Построить в одном шаблоне график экспериментальных данных (зависимость P_i от T_i) и график сплайн-функции.

Сведем ожидаемую зависимость к линейной (нам необходимо получить линию вида ax+b, расположенную предельно близко к экспериментальным точкам):

1) Задать площадь поверхности нити накаливания и соответствующее уравнение, взяв логарифм от обеих частей и используя понятие логарифма произведения:

2) Определим векторы, между которыми ожидается линейная зависимость:

3) Из полученной зависимости определим значения  и n методом наименьших квадратов:

4) Определить значения g и k.

5) Так как , то и n = g.

6) Вывести полученное расчетное значения  и n и сравнить с точными значениями ( =5,6710^-8 n=4,0).

Очевидно, что найденные значения отличаются от точных, так как нить накала лампы не является абсолютно черным телом.