Лабораторная работа №4. Построение трехмерных графиков

 Написать заголовок лабораторной работы шрифтом зеленого цвета, размером 14 пт, выбрав начертание – полужирный курсив.

Трехмерные, или 3D-графики, отображают функции двух переменных вида Z(X,Y). Для представления таких графиков в достаточно наглядном виде используются аксонометрическое изображение поверхностей и фигур; построение линий равного уровня; применение функциональной окраски (например, зависящей от координаты Z); применение линий каркаса с удалением невидимых линий; имитация различных световых эффектов.

 Команда меню INSERTGraph открывает следующий перечень типов трехмерной графики: Surface Plot создать шаблон для построения трехмерного графика; Contour Plot – создать шаблон для контурного графика поверхности; 3D Scatter Plot – создать шаблон в виде точек (фигур) в трехмерном пространстве; Vector Field Plot – создать шаблон для графика векторного поля на плоскости; 3D Bar Chart – создать шаблон для изображения поверхности в виде совокупности столбцов в трехмерном пространстве. Можно использовать операцию 3D Plot Wizard… - вывод Мастера создания 3D-графиков.

 Операция Surface Plot служит для построения поверхности Z(X,Y) предварительно представленной матрицей М значений аппликат Z. При этом выводится шаблон графика, левый верхний угол которого помещается в место расположения курсора. В единственный шаблон данных надо занести имя матрицы со значениями аппликат точек поверхности. Перед построением графика его надо определить математически.

При построении трехмерных графиков можно выделить два способа: заданием функции и путем создания массива данных.

Задача_1. Построить график поверхности, заданной функцией f(x, y) =(x² y²).

_1. Построим поверхность заданием функции.

1) Задать функцию f(x,y).

2) Вывести шаблон 3D-графика с помощью команды меню INSERTGraph Surface Plot.

3) В левом нижнем шаблоне набрать имя функции f.

4) Щелкнув мышкой в стороне от графика просмотреть результат.

5) Щелкнув в области графика немного увеличить его размеры, растянув его границы за маркеры, удерживая нажатой левую клавишу мыши.

Задача_2. Построить график поверхности, заданной функцией f(x, y) = sin(xy).

_2. Построим поверхность путем создания массива данных.

1) Зададим i:=0..5; j:=0..7; x_i:=0.5i; y_j:=0.2j.

2) Зададим . Для набора нижних индексов при Z набрать после Z символ открывающейся квадратной скобки: Z [ i , . . .

3) Вывести шаблон 3D-графика.

4) В левом нижнем шаблоне набрать имя матрицы аппликат Z.

5) Щелкнув мышкой в стороне от графика просмотреть результат.

Здесь два аргумента являются независимыми переменными, а функция – зависимой переменной.

Задача_3. Построить график поверхности, заданной функцией f(x, y) = sin(x²+y²) при изменении значений переменных x и y от 0 до 20.

_3. Вновь воспользуемся заданием массива данных.

1) Задать функцию f(x,y):= sin(x²+y²).

2) Задать границы изменения переменных x и y: x:=0..20, y:=0..20.

3) Задать матрицу аппликат поверхности: .

4) Вывести шаблон 3D-графика.

5) В левом нижнем шаблоне набрать имя матрицы аппликат М.

6) Щелкнув мышкой в стороне от графика просмотреть результат.

Вращение 3D-графика. Наглядность и реалистичность изображения на плоском рисунке поверхностей и тел в трехмерном пространстве зависит от углов обзора. Для вращения любой трехмерной фигуры достаточно выделить ее изображение и, нажав и удерживая левую клавишу мыши, начать перемещать мышь по поверхности стола.

 Выполнить вращение построенного графика.

 Можно использовать непрерывное вращение 3D-графика в выбранном направлении. Для этого начать вращение мышью при нажатой клавише Shift.

 Выполнить непрерывное вращение построенного графика.

Форматирование трехмерных графиков. Для вывода окна форматирования трехмерных графиков достаточно поместить курсор мыши в выделенную область графика и быстро щелкнуть дважды левой клавишей мыши. Это окно имеет ряд вкладок и кнопки «Оk», «Отмена», «Применить» и «Справка». Кнопка «Применить» позволяет проверить немедленно все введенные установки форматирования, не выходя из окна форматирования.

 Вызвать окно форматирования для построенного графика.

• Вкладка General – установка общих характеристик изображения. Наиболее важная опция (Plot N) расположена внизу окна – это переключатель вида фигур, выбирая нужную опцию и нажимая кнопку Применить можно просмотреть различные типы представления уже построенной поверхности (см. типы трехмерных графиков).

 Просмотреть все типы. Вернуться к исходному виду. Применить опцию Show Box (поместить в ящик). Применить опцию, убирающую координатные оси: выбрать опцию None в разделе Axes Stile. Вернуться к исходному виду.

• Вкладка Advanced – установка расширенных опций (перспектива, цветовые эффекты, качество печати и т.д.).

 Изучить возможности Choose Colormap, выбирая разные варианты и используя кнопку «Применить».

• Вкладка Axes – установка параметров координатных осей (тип, толщина и цвет линий осей, число отметок, их нумерация, масштаб и др.). Здесь представлены вкладки, позволяющие задавать параметры отдельно для каждой из осей.

 Для оси Ox установим вручную число линий масштабной сетки равное 10, в разделе Grids выключив опцию Auto Grid. Покажем сетку по этой оси, для этого в разделе Grids выбрать Draw Lines. Цвет линий сетки – синий. Выполнить те же действия для осей Y и Z, меняя цвета. Вернуться к исходному виду поверхности. Для каждой оси убрать показ числовых значений, для этого выключить опцию Show Numbers в разделе Axes Format. Для каждой оси включить опцию показа разметки Draw Ticks.

• Вкладка Appearance – установка вида графика (параметров окраски, линий и типа точек, используемых при построении фигур и поверхностей).

 Скроем невидимые части линий «каркаса», для этого выбрать опцию Hide Lines (погасить линии) в разделе Line Options. Просмотреть результат. Применим функциональную окраску: выбрать опцию Fill Contours в разделе Fill Options. Просмотреть результат. Покажем точки пересечения линий: включить опцию Draw Points в разделе Point Options, задать размер точек 1,5. В разделе Color Options выбрать Colormap.

• Вкладка Back Planes – установка параметров заднего плана.

• Вкладка Lighting – задание условий освещения и выбор схемы освещения.

 Включить опцию Enable Lighting в разделе Lighting. Применив результат вернуться к исходному виду поверхности.

• Вкладка Special – задание специальных параметров (контурных линий, столбцов, интерполяции по цвету и др.).

• Вкладка Title – задание титульных надписей и их параметров.

 Задать титульную надпись «3D Grafic», расположив ее выше графика.

 Закрыть окно форматирования.

Построение многогранников. Всего можно построить 80 многогранников. Для построения полиэдра выведите на экран шаблон трехмерного графика и введите в шаблон ввода Polyhedron(“#N”), где N – целое число от 1 до 80.

Задача_4. Построить 16-тигранник. В окне редактирования графика на странице Lighting включить опцию Enabled Lighting и на странице Appearance выбрать Fill Surface в разделе Fill Options.

Задача_5. Построить 44-гранник.

Одновременное построение разных 3D-графиков одной функции. В ряде случаев одна и та же функция может отображаться графиками разного типа. Нередко повышению наглядности таких графиков способствует их совместное отображение. Для такого построения нужно ввести в шаблон задания матрицы ее имя два или более число раз и отформатировать каждый график под нужный тип с помощью вкладки Special окна форматирования 3D-графика.

Задача_6. Построить поверхность, заданную функцией f(x, y) = sin(x²+y²), с цветной окраской и под ней ту же поверхность в виде контурного графика.

_6. 1) Построить поверхность, используя матрицу аппликат.

2) В шаблоне графика к уже имеющемуся имени матрицы набрать через запятую имя матрицы М.

3) Щелкнуть мышкой вне графика.

4) В окне графика вызвать окно форматирования. Выбрать вкладку General.

5) Теперь на ней представлены возможности редактирования двух графиков (Plot 1 и Plot 2). Выбрать вкладку Plot 2, на ней выбрать опцию Contour Plot– контурный график - вторая поверхность.

6) Нажать Ok.

 Для построения на одном графике ряда пересекающихся фигур надо задать матрицы соответствующих поверхностей и в поле вывода шаблона 3D-графика перечислить эти матрицы через запятую.

Задача_7. Построить в одном шаблоне графики поверхностей h(x, y)= –sin(x²+y²) и g(x, y)= x²+y²–5 при изменении значений переменных x и y от 0 до 20.

_7. Придерживаясь описанных выше инструкций, задать матрицы аппликат поверхностей: и . При построении поверхностей, ввести в шаблон L1, L2.

Задача_8. В этом же шаблоне построить контурный график поверхности g(x, y)= x²+y²–5.

Задача_9. Построить график поверхности заданной функцией f(x, y)= –sin(x²+y²).

 Для поверхности выбрать опцию No Fill в разделе Fill Options. В разделе Line Options включить опцию Colormap. В разделе Point Options включить опции Draw Points и Colormap, задав размер точек 2. Просмотреть результат.

Построение поверхности тела вращения. Аналитически тела вращения обычно описываются в сферических или цилиндрических координатах. MathCAD строит трехмерные графики в декартовых координатах. В таких случаях необходимо преобразовать исходные координаты в декартовы.

Задача_10. Построение поверхности шара. Для преобразования сферических координат в декартовы будем использовать аналитические формулы.

_10. 1) Задать n=40.

2) Задать ранжированные переменные i:=1..n, j:=1..n.

3) Задать ; .

4) Задать матрицы координат ; ; .

5) В шаблоне 3D-графика набрать (X, Y, Z).

 Сохранить лабораторную работу в своей папке под именем Лаб_4.mcd.