Построение трехмерных графиков

Задача. Изобразить на графике приблизительную форму электронных облаков в атомах. Согласно современным знаниям, электронные уровни в атоме определяются четырьмя квантовыми числами. Форма электронного облака определяется двумя из этих чисел:

• Число l определяет тип орбитали (значения 0-3 соответствуют s-, p-, d-, f- орбиталям);

• Число m определяет магнитный момент электрона и может меняться в диапазоне от –l до l.

При m =0 форма электронного облака определяется на основе многочленов Лежандра первого рода . В этом случае . Параметрическое задание соответствующей поверхности имеет вид:

;

;

, где изменяются в диапазоне от 0 до .

 1) Задать l равное 3.

2) Построение поверхности будет происходить по точкам, поэтому зададим два диапазона, i и j, оба от 0 до 100, которые будут определять изменение параметров , задающих поверхность.

3) Произведем перемасштабирование: .

4) Задать многочлен Лежандра и .

5) Определить двумерные матрицы, определяющие значения координат:

;

;

.

6) Построить поверхность, заданную матрицей выше. Выполним некоторые преобразования графика поверхности. На вкладке General, включить опцию Equal Scales (равный масштаб; на вкладке Appearance включить опцию Fill Surface (заливка поверхности); на вкладке Lighting включить опцию Enable Lighting (включить подсветку) и отключите все источники света, кроме первого.

Задача. Изменяя значение l, покажите форму электронных облаков для разных орбиталей.

Движение заряженной частицы в магнитном поле

Задача. При использовании других типов трехмерных графиков, кроме рассмотренных ранее, необходимо образовывать матрицу, в которой строки и столбцы соответствуют значениям x и y, а величина элемента матрицы определяет координату z. При построении точечного графика можно непосредственно определять координаты (x, y, z) любой совокупности точек. Примером использования такого типа графика является моделирование траектории движения заряженной частицы в магнитном поле.

Частица массой и зарядом влетает в магнитное поле индукцией B=0,1 Тл под углом к линии поля. Проанализируем траекторию движения частицы при начальной скорости .

 Зададим указанные начальные значения. Как видно из рисунка

y



x

проекции вектора скорости частицы на оси будут задаваться выражениями , .

На частицу действует сила Лоренца. Эта сила всегда перпендикулярна скорости, следовательно, ускорение будет только нормальным; скорость не будет меняться по величине, но будет меняться по направлению. Траектория – винтовая линия, радиус которой можно найти из уравнения движения: , где vy – перпендикулярная к вектору B компонента скорости.

Таким образом, необходимо задать: . В данном случае поле с индукцией действует только на составляющую vy вектора скорости v , а по оси x движение будет равномерным со скоростью vx.

Зададим N=100, i от 1 до N-1 и . Пусть - время полета частицы.

Тогда координаты – это вектора X, Y, Z, соответственно: , , .

Представить траекторию движения точки в пространстве в виде трехмерного точечного графика, установив при этом опцию, соединяющую линией получающиеся точки.

 Сохранить лабораторную работу в своей папке под именем Лаб_11.mcd.