4. Арифметика с алгебраическими числами

1. Кодирование алгебраических чисел

Для представления чисел со знаком используются специальные коды:

• прямой код;

• дополнительный код;

• обратный код.

Во всех трёх случаях используется следующий формат представления числа, содержащий два поля - поле знака и поле модуля (Error: Reference source not found).

Поле знака

Поле модуля

Рис. 1.4‑2

Поле знака представлено одним разрядом, в котором устанавливается 0, если число положительное, и 1, если число отрицательное.

Поле модуля отражает количественную оценку числа и для каждого кода формируется по-разному. Количество разрядов поля модуля определятся диапазоном изменения отображаемых чисел или точностью их представления.

В прямой код запись целого числа А формируется по следующему правилу:

0. A, если если А.>=0;

[А]_{пк =} 

1.A , если А<0.

В дополнительном коде запись целого числа А формируется по следующему правилу:

 0. A, если А>=0;

[А]_{дк =} 

 1 . qⁿ + A , если А<0,

где: n - разрядность модульного поля;

q -основание системы счисления;

qⁿ - максимальная не включенная граница диапазона изменения представляемых чисел, т.к. диапазон изменение чисел А определяется как

qⁿ >  A >=0 .

Для случая правильной дроби запись числа В в дополнительном коде имеет вид:

 0. A, если А>=0;

[А]_{дк =} 

   1. (1 +A ), если А<0,

где 1 - максимальная не включенная граница диапазона изменения представляемых чисел, т.е. диапазон изменение чисел А определяется как

1 >  A >=0.

В обратном коде запись целого числа А формируется по следующему правилу:

  0. A, если А>=0;

[А]_{ок =} 

   1 . ((qⁿ -1)+ A) , если А<0,

где n - разрядность модульного поля;

q - основание системы счисления;

(2ⁿ - 1) - максимальная включенная граница диапазона изменения представляемых чисел, т.е. диапазон изменение чисел А определяется как

(qⁿ -1)>= A>=0.

Для случая правильной дроби запись числа В в обратном коде имеет вид:

 0. B, если B>=0;

[А]_{ок =} 

 1. (1-q^-n +B), если B<0,

где (1- q^-n) - максимальная включенная граница диапазона изменения представляемых чисел, т.е. диапазон изменение чисел А определяется как

(1-q^-n ) >=  A>=0.

Легко показать, что перевод отрицательного числа из обратного или дополнительного кода в прямой выполняется по тому же правилу, что и перевод числа из прямого кода в обратный или дополнительный код:

• для того чтобы перевести отрицательное число из обратного в прямой код, необходимо дополнить его модуль до включенной границы;

• для того чтобы перевести отрицательное число из обратного в прямой код, необходимо дополнить его модуль до не включенной границы.