- •Содержание
- •Введение
- •Тема 1. Экономико-математические методы и модели и их классификация
- •1.1. Социально-экономические системы, методы их исследования и моделирования
- •1.2.Этапы экономико-математического моделирования, классификация экономико-математических моделей и методов
- •Примеры описательных моделей
- •Тема 2. Балансовый метод в экономике
- •2.1. Общие понятия балансового метода, принципиальная схема межпродуктового баланса
- •2.2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
- •2.3. Плановые расчеты на основе матричных моделей систем производства и распределения продукции
- •2.3.1. Методика расчета планового баланса по заданным валовым выпускам продукции Xiпл
- •2.3.2. Коэффициенты полных материальных затрат и методы их расчета
- •2.3.3. Методика расчета планового баланса по заданным плановым уровням конечной продукции Yiпл
- •2.4. Пример расчета планового баланса для трехотраслевой экономической системы
- •2.5. Использование балансового метода на предприятии
- •Тема 3. Математические методы сетевого планирования и управления
- •3.1. Основные понятия сетевой модели
- •Распределение (расслоение) вершин сетевого графика по рангам
- •3.2. Анализ сетевого графика и расчет его временных характеристик
- •3.2.1. Расчет временных характеристик событий
- •3.2.2. Расчет временных характеристик работ
- •3.3. Сетевое планирование в условиях неопределенности
- •Вероятностные оценки продолжительности работ
- •3.4. Оптимизация сетевой модели
- •Краткая характеристика метода оптимизации
- •Тема 4. Классификация задач математического программирования и область их эффективного применения в экономике
- •4.1. Математическая постановка и структура задачи оптимизации
- •4.2. Краткая классификация методов математического программирования
- •Тема 5. Линейное программирование
- •5.1. Предмет линейного программирования
- •5.2. Построение оптимизационных моделей для решения экономических задач
- •5.3. Общая задача линейного программирования. Основные определения
- •5.4. Графический метод решения задач линейного программирования
- •I этап. Графическая интерпретация области допустимых решений
- •II этап. Графическая интерпретация целевой функции
- •III этап. Нахождение оптимального решения
- •5.5. Примеры решения задач линейного программирования графическим методом
- •5.6. Понятие о симплекс-методе озлп
- •5.7. Каноническая форма задач линейного программирования
- •5.8. Базисные решения задачи линейного программирования
- •5.9. Алгоритм симплекс-метода озлп
- •5.10.Примеры решения задач линейного программирования симплекс-методом
- •Тема 6. Двойственность в линейном программировании
- •6.1.Понятие двойственности. Построение двойственных задач и их свойства
- •6.2. Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание
- •Первая теорема двойственности
- •Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости)
- •6.3.Экономическая интерпретация двойственной задачи Пример 1. Задача оптимального использования ресурсов.
- •6.4.Экономико-математический анализ полученных оптимальных решений
- •Свойство 1. Оценки как мера дефицитности ресурсов
- •Свойство 2. Оценки как мера влияния ограничений на функционал
- •Свойство 3. Оценки - инструмент определения эффективности отдельных вариантов (технологических способов) с позиций общего оптимума
- •Тема 7. Транспортная задача линейного программирования
- •7.1. Постановка транспортной задачи
- •Классическая постановка транспортной задачи
- •Модели транспортной задачи
- •7.2.Методы построения исходного плана
- •Метод северо-западного угла
- •Метод минимального элемента
- •7.3.Оптимизация исходного базисного плана перевозок. Метод потенциалов
- •Основные процедуры метода потенциалов
- •Алгоритм метода потенциалов
- •7.4. Пример решения транспортной задачи
- •7.5. Применение модели транспортной задачи при решении различных экономических задач
- •Тема 8. Модели и методы дискретного программирования
- •8.1. Постановка задачи дискретного программирования
- •Задача о назначении (проблема выбора, задача о женихах и невестах)
- •8.2.Краткая классификация математических моделей дискретного программирования
- •8.3.Методы решения задач дискретного программирования
- •8.3.1. Методы отсечения для решения полностью целочисленной задачи линейного программирования
- •8.3.2.Сущность метода ветвей и границ
- •Тема 9. Модели и методы динамического программирования
- •9.1. Моделирование процессов наилучшего распределения ресурсов методом динамического программирования
- •Итоговая таблица условно-оптимальных решений
- •Графики предельной и средней эффективности
- •Тема 10. О других моделях и методах математического программирования
- •10.1.Нелинейное программирование
- •10.2.Стохастическое программирование
- •Тема 11. Модели конфликтных ситуаций в теории игр
- •11.1.Основные понятия теории игр
- •11.2.Решение игры в чистых стратегиях
- •11.3.Решение игры без седловой точки
- •Графический способ решения матричной игры
- •11.4. Пример решения экономической задачи методами теории игр
- •Тема 12. Модели управления запасами
- •12.1. Основные понятия
- •12.2. Статические модели управления запасами Уилсона
- •12.2.1. Статическая модель без дефицита
- •12.2.2. Статическая модель с дефицитом
- •12.3. Модели со случайным спросом
- •Тема 13. Модели массового обслуживания
- •Литература
Распределение (расслоение) вершин сетевого графика по рангам
Ранг |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Старые номера вершин |
1 |
2, 4 |
3, 7 |
5, 6 |
9 |
8 |
Новые номера вершин |
1 |
2, 3 |
4, 5 |
6, 7 |
8 |
9 |
После введения упорядоченной по рангам нумерации получим сетевой график (рис. 6).
3.2. Анализ сетевого графика и расчет его временных характеристик
Поиск на сетевом графике критического пути, определяющего срок окончания всех работ, предполагает определение некоторых временных характеристик событий и работ.
3.2.1. Расчет временных характеристик событий
Для событий рассчитывают три характеристики: ранний и поздний срок свершения события, а также его резерв.
Ранний срок свершения события - это время, раньше которого событие не может наступить. Оно равно наибольшей длине (продолжительности) путей, ведущих от начального события к данному, причем tp(1)=0, а tp(N)=tкр(L):
tp(j) = [tp(i) + t(i, j)]. |
(1) |
(11)
Поздний срок свершения события "i" характеризует самый поздний допустимый срок, к которому должно совершиться событие, не вызывая при этом срыва срока свершения конечного события:
tп(i) = [tп(j) - t(i, j)] |
(2) |
Этот показатель определяется “обратным ходом”, начиная с завершающего события, с учетом соотношения tп(N) = tp(N).
Все события, за исключением событий, принадлежащих критическому пути, имеют резерв R(i):
R(i) = tп(i) - tp(i) |
(3) |
Он показывает, на какой предельно допустимый срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ.
Значения временных характеристик событий, к которым относятся раннее время и позднее время его наступления и резерв события, указываются по нижеследующему образцу внутри кружков, обозначающих события на сетевом графике:
|
i - номер события; tp(i) - раннее время наступления события; tп(i) - позднее время наступления события; R(i) - резерв события.
|
3.2.2. Расчет временных характеристик работ
Для всех работ (i, j) на основе ранних и поздних сроков свершения всех событий можно определить показатели:
Ранний срок начала |
tрн(i, j) = tp(i), |
(4) |
Ранний срок окончания |
tpo(i, j) = tp(i) + t(i, j), |
(5) |
Поздний срок окончания |
tпо(i, j) = tп(j), |
(6) |
Поздний срок начала |
tпн(i, j) = tп(j) - t(i, j), |
(7) |
Полный резерв времени |
Rп(i, j) = tп(j) - tp(i) - t(i, j), |
(8) |
Свободный резерв |
Rc(i, j) = tр(j)- tро(i, j). |
(9) |
Полный резерв времени показывает, на сколько можно увеличить время выполнения конкретной работы при условии, что срок выполнения всего комплекса работ не изменится.
Свободный резерв времени показывает, на сколько можно увеличить время выполнения работы с тем, чтобы не изменились ранние сроки начала выполнения работ, непосредственно следующих за рассматриваемой, т.е. чтобы не изменился ранний срок свершения j-го события.
Перечисленные выше характеристики СМ могут быть получены на основе приведенных аналитических формул, а процесс вычислений отображен непосредственно на графике, либо в матрице (размером N на N), либо в таблице. Мы рассматриваем графический метод.
Для оптимизации сетевой модели, выражающейся в перераспределении ресурсов с ненапряженных работ на критические для ускорения их выполнения, необходимо как можно более точно оценить степень трудности своевременного выполнения всех работ, а также “цепочек” пути. Более точным инструментом решения этой задачи по сравнению с полным резервом является коэффициент напряженности, который может быть вычислен по приводимой ниже формуле:
Кн (i, j) = 1 - |
Rп (i, j) |
(10) |
tкр - t'кр |
Для определения t'кр необходимо прежде выявить максимальный путь, проходящий через работу (i, j). Тогда t’кр - продолжительность отрезка рассматриваемого пути, совпадающая с критическим путем.
Коэффициент напряженности изменяется от нуля до единицы, причем чем он ближе к единице, тем сложнее выполнить данную работу в установленный срок. Самыми напряженными являются работы критического пути, для которых он равен 1. На основе этого коэффициента все работы СМ могут быть разделены на четыре группы:
1) критические (Кн(i, j)=1);
2) напряженные (Кн(i, j)>0,8);
3) подкритические (0,6<Кн(i, j)<0,8);
4) резервные (Кн(i, j)<0,6).
В результате перераспределения ресурсов стараются максимально уменьшить общую продолжительность работ, что возможно при переводе всех работ в первую группу.
При расчете этих показателей целесообразно пользоваться графиком СМ. Итак, для работ критического пути (1, 2), (2, 4), (4, 5), (5, 10), (10, 11) имеем Кн=1.
Кн(2, 3)=1-6:(33-(6+9))= 1-0,33 = 0,67, Кн(4, 9)=1-5:(33-(6+3+9))= 1-0,33 = 0,67, Кн(5, 8)=1-2:(33-(6+3+6+9))= 1-0,22 = 0,78. |
(11) |
В соответствии с результатами вычислений Кн для остальных работ можно утверждать, что оптимизация СМ возможна в основном за счет трех резервных работ: (6, 11), (2, 5) и (4, 6).