3. Машинна імітація в технічних і економіко-організаційних системах

3.1. Розв’язання задач масового обслуговування

У виробничих умовах дуже часто виникають ситуації, що можна інтерпретувати як потреби в обслуговуванні. Наприклад, при обслуговуванні технологічних ліній ремонтними бригадами, при визначені показників надійності роботи устаткування, при визначені можливості підвищення продуктивності виробництва, тощо. У повсякденному житті до систем масового обслуговування належать телефонні та автозаправні станції, майстерні та ін. У таких системах є два потоки: потік замовлень та вихідний потік обслуговування. Якщо інтенсивність обслуговування мала, утворюється черга, яку можна скоротити, якщо використати декілька каналів обслуговування.

Системи масового обслуговування (СМО) призначені для обслуговування потоку замовлень або вимог, що надходять у випадкові моменти часу. Кожна СМО складається з деякого числа каналів обслуговування, якими, в залежності від виду системи, можуть бути технологічні лінії, лінії зв’язку, робочі точки чи агрегати, під’їздні шляхи, ремонтні бригади, тощо. Виконання замовлення, що надходить у систему, тобто її обслуговування, продовжується деякий випадковий час, після чого канал звільняється і готовий прийняти наступне замовлення.

Черги можуть виникнути у всіляких випадках, наприклад при обслуговуванні покупців підприємствами роздрібної й оптової торгівлі, на виході виробничої і збиральної лінії, при прийомі телефонних дзвінків, а також при обміні інформацією між користувачами комп'ютерної мережі й іншим устаткуванням. За допомогою AnyLogic можна змоделювати такі змінні, як час і частота прибуття, час обслуговування й використання певного числа точок обслуговування. Обслуговування, що надається замовленням, можна вибудувати, виходячи з таких статистичних показників, як середня довжина черги, середній час очікування й середній час обслуговування. Використання методів моделювання допоможе керівникові прийняти рішення відносно найбільш прийнятних шляхів поліпшення обслуговування.

Приклад 1. На підприємстві мається одна площадка (n=1) для розвантаження машин, що привозять сировину, і площадка для очікування на m=8 машин. Якщо всі місця на площадці очікування зайняті, то чергова машина, що прибула на підприємство, не очікує і від’їзжає. Аналітично було з’ясовано, що на підприємство в середньому за хвилину прибуває потік машин інтенсивністю =3.5 , а потік обслуговування з інтенсивністю =1.6 визначається тривалістю розвантаження.

Менеджера цікавить ймовірність відмови в обслуговуванні і середній час очікування в залежності від місць m.

Скласти математичну та імітаційну модель і зробити розрахунки для кількості місць у черзі від 1 до заданого значення М (m=1,…M).

Розв’язання. Задача належить до класу системи масового обслуговування (СМО) з очікуванням. Розглянемо СМО з одним каналом обслуговування і обмеженою чергою, на вхід якої надходять замовлення з інтенсивністю . Замовлення, що надійшло у момент, коли канал зайнятий, стає у чергу і очікує. Граф станів такої системи наведений на рис 5.

   

S0

S1

S2

Sm+1

   

Рис.5. Граф системи масового обслуговування з очікуванням

Стан S0 відповідає вільному каналу; S1 - канал зайнятий і черги немає; S2 - канал зайнятий і одне замовлення знаходиться у черзі; S3 – у черзі два замовлення і т.д., у стані Sm+1 - канал зайнятий і у черзі m замовлень. За стрілками зліва направо систему з одного стану в інший переводить потік замовлень з інтенсивністю , а за стрілками справа наліво - потік обслуговувань, що має інтенсивність . Кожного разу при переході з одного стану в інший черга змінюється на одиницю.

Позначимо як р0 – ймовірність перебування системи у стані S0, р1 – ймовірність перебування системи у стані S1, і.т.д., рk – ймовірність перебування системи у стані Sk,

Рівняння Колмогорова для такої системи:

 p₀ =  p₁ ;

(  +  ) p₁ =  p₀ +  p₂ ;

… …

(  +  ) p_m =  p_m-1 +  p_m+1 ;

p₀ + p₁ + p₂ + … + p_m + p_m+1 = 1.

 =  /  - інтенсивність навантаження СМО. Для стійкої роботи СМО з очікуванням необхідно, щоб середня інтенсивність потоку обслуговування була більше, ніж інтенсивність потоку замовлень, тобто  < , тобто  < 1. Якщо  > , система не впорається з обслуговуванням і черга буде зростати до нескінченності.

Отримуємо ймовірність вільного каналу:

р₀ = 1 / ( 1 +  + ² + … + ^m+1 ) = (1 -  ) / ( 1 - ^m+1 );

p_k = ^k / p₀,

де k = 1, 2, 3, … m+1.

Імовірність відмови - p_m+1.

Середня кількість замовлень у черзі:

де p_k+1 - імовірність того, що у черзі знаходиться k замовлень.

Середній час очікування у черзі : r / .

Нехай на автозаправку у середньому прибуває за хвилину одна машина. Отже,  = 1.

Нехай тривалість запраки складає у середньому 2 хвилини. Отже,  = ½.

Таким чином,  =  /  = 2.

Якщо кількість місць у черзі m = 3, то імовірність відмови p_m+1 = 51,6%, а середній час очікування у черзі дорівнює 2,1 хвилин.

Якщо кількість місць у черзі m = 6 то імовірність відмови p_m+1 = 50,2%, а середній час очікування у черзі дорівнює 5 хвилин.

Видно, що якщо  > 1, то при великих m імовірність відмови стабілізується і стає рівною (  - 1 ) / . Щоб суттєво знизити імовірність відмови, необхідно ( якщо неможна зменшити ) преходити до багатоканальної системи, тобто робити декілька площадок для розвантаження.

p_k=^k(1-)

Використовуючи цей вираз, можна визначити характеристики СМО з очікуванням, важливі для її функціонування: Lq, середнє число замовлень в системі Ls, середній час перебування замовлення в системі Ws, середня тривалість очікування замовлення у черзі Wq та ймовірність утворення черги р_к.

З ймовірністю p₂ у черзі знаходиться одне замовлення, з ймовірністю p₃ – два замовлення , і з імовірністю p_m+1 у черзі – m замовлень.

Отже середня довжина черги,

Lq=1 p₂ +2 p₃ +…+(k-1)p_k=²(1-)(1+2+3²+…+k^k-1).

Cума геометричної прогресії 1+2+3²+…+k^k-1= 1/(1-)².