1.6.2. Матричные модели ткс и их взаимосвязь

При оценке коммуникационных возможностей ТКС удобно использовать матричные представления ТКС. Матричной моделью ТКС будем называть коммуникационную матрицу C размерности NN со следующими двоичными компонентами

(1.6.2.1)

Заметим, что для коммуникационных матриц любых ТКС с односторонними или двухсторонними связями справедливы соотношения

(1.6.2.2)

отражающие недопустимость связей вида (1.6.1.4). Соотношения (1.6.1.6) означают, что диагональные элементы всех коммуникационных матриц равны 0.

Важно отметить, что любая двоичная (бинарная) матрица, все элементы главной диагонали которой равны 0, является коммуникационной матрицей некоторой ТКС. По этой матрице можно построить графовую модель (коммуникационный граф) ТКС.

По графовой модели ТКС с произвольными (смешанными) связями можно однозначно построить матричную модель ТКС, т.е. коммуникационную матрицу, и наоборот. Например, для графовых моделей ТКС, изображенных на рис. 1.6.1 a),b) и c), соответствующие матричные модели имеют вид

(1.6.2.3)

В случае ТКС с односторонними связями (в отличие от ТКС с двусторонними связями) коммуникационная матрица имеет особенности, связанные с доминированием одних узлов ТКС над другими. Поэтому будем называть её коммуникационной матрицей ТКС с односторонними связями.

Компоненты этой двоичной (бинарной) матрицы размерности NN для ТКС с односторонними связями определяются по формулам

(1.6.2.4)

. (1.6.2.5)

Отсюда следует, что тогда и только тогда, когда при i j . Это означает, что если некоторый элемент , то симметричный ему (относительно нулевой главной диагонали матрицы ) элемент , и наоборот. Поэтому элементы , стоящие в i-ой строке матрицы

, соответствует только тем узлам ТКС, над которыми доминирует узел a_i, а единичные элементы, стоящие в j-ом столбце, соответствуют тем узлам ТКС, которые доминируют над a_{i .}

На рис. 1.6.2. представлен пример графовой и матричной модели для ТКС с односторонними связями.

Анализ графовых и матричных моделей ТКС позволяет ответить на многие вопросы, связанные с проектированием, управлением и использованием ТКС. Среди множества таких вопросов отметим следующие:

- со сколькими узлами ТКС непосредственно (через рёбра графа- каналы связи) или косвенно (через допустимые пути на графе ТКС) связан каждый узел?

- сколькими путями (маршрутами) каждый узел ТКС связан с любым другим узлом через один, два и т.д. промежуточных узлов?

- может ли каждый узел ТКС быть связан непосредственно или косвенно с любым другим узлом?

	a1	a2	a3	a4
a1	0	1	0	1
a2	0	0	1	0
a3	1	0	0	0
a4	0	1	1	0

Рис. 1.6.2. Графовая и матричная модели ТКС с односторонними связями

- каким образом следует изменить структуру (топологию связей) ТКС, чтобы расширить её телекоммуникационные возможности до требуемого уровня?

Графовой модели ТКС, имеющей N узлов и М рёбер (каналов связей) можно сопоставить матрицу инциденций E размерности NM, столбцы и строки которой соответствуют узлам и рёбрам графа. Элементы этой матрицы определяются по формулам

(1.6.2.6)

Матрица инциденций характеризует некоторые важные свойства графа ТКС. Например, поскольку ребро графа инцидентно только двум вершинам графа, то каждый столбец матрицы Е= |e_ij | содержит ровно два единичных элемента.

Каждой подсети ТКС, рассматриваемой как его компонента (подграф), соответствует подматрица E_k матрицы инциденций E. При соответствующей нумерации узлов и рёбер внутри каждой k-ой компоненты и между всеми компонентами матрицу E всегда можно представить в блочно-диагональной форме.

Матрица инциденций E обеспечивает полное описание графа (графовой модели) ТКС.

Для ориентированных и неориентированных графов ТКС с односторонними или двусторонними связями можно определить матрицу смежности узлов Q размерности NN. Элементы q_ij этой матрицы на пересечении i-ой строки и j-ого столбца определяются как число рёбер (односторонних или двусторонних связей), ориентированных от узла i к узлу j (в случае односторонних связей) или инцидентных одновременно i-ому и j-ому узлу ТКС (в случае двусторонних связей). Если q_ij= 0, то это означает, что i-ый и j-ый узел не связаны рёбром.

Степени матрицы смежности Q¹ ,Q² ,…,Q^k несут важную информацию о существовании 2-, 3-, …, k-звенных маршрутов между любыми узлами ориентированного графа ТКС с односторонними связями, а именно: элементы матрицы Q^k равны числу ориентированных k-звенных маршрутов между соответствующими узлами ТКС.

Таким образом, для ТКС с ориентированными связями каждый узел достижим из любого другого узла ориентированным маршрутом, состоящим из k рёбер (односторонних связей).

По графу ТКС, узлы которого перенумерованы, можно построить матрицу маршрутов (коммуникационных путей) Р. Строки этой матрицы соответствуют ориентированным маршрутам из первого узла a₁ в последний a_N , а столбцы - рёбрам графа ТКС. При этом элементы p_ij матрицы маршрутов P принимают значение 1 или 0 в зависимости от того, принадлежат ли данное ребро графа данному маршруту или нет.