вимірюють за шкалою на диску. Взяв ши відношення синусів кутів падінн; до синусів відповідних кутів заломлен ня, можна переконатися, що це відно шення залишається сталим при змії кута падіння.

Легко бачити, що заломлений пр мінь лежить у тій самій площин що й падаючий промінь і перпендику­ляр, проведений в точку падіння про­меня.

Заломленням світла пояснюється ряд цікавих явищ, докрема, уявне зменшення глибин водойм (мал. 339), коли дивитися на дно через товщу води.

Цікавим проявом заломлення світла є виникнення міражів у пустинях і на морі. Над гарячим піском знаходиться нагріте повітря, а вище — холодне. Завдяки цьому промінь світла, що йде в атмосфері поблизу земної поверхні, проходить ніби через безліч тонких паралель­них один одному і земній поверхні шарів, показник залом­лення яких зростає зі збільшенням висоти шару. На межі розділення кожної пари таких шарів відбувається залом­лення світла, внаслідок чого промінь викривляється (мал. 140) і спостерігачеві здається, ніби він виходить з точки А\, а не з точки А.

Над поверхнею води можна спостерігати зворотний процес. Поблизу води може бути шар холодного повітря, а над ним — шар теплого. Внаслідок цього може створи­тися враження, ніби корабель, що знаходиться далеко в морі, плаває в небі (мал. 141).

1 1. У чому по лягає явище заломлення світла? 2. Побудуйте фронт заломленої хаяаі для випадку* коли швидкість світла в другому сере­довищі більша. 3. Який існує ав'явок між показником заломлення і швидкостям* овіяла в цих середовищах?

Вправа 6

1. Кут — Д*^ІЯШ променя * = 50*. а кут заломлення p* = ЗО⁹. Визна­ чити яокажвж заломлення другом середовища відносно першого.

2. Лнвм ід і ■ кут заломлення променя, якщо він падав під ку­ том а =46* до межі розділення двок середовищ з відносним показни­ ком заломлення л=1,63.

3. Промінь світла переходить з води в повітря і утворює кут задом» лення (і = 90°. Під яким кутом надає цей промінь на межу розділення

води й повітря?

4. Промінь світла падав иід кутом а =60° на илоскопаралельну пластинку і виходить з неї паралельно початковому напряму, зміс­ тившись на і=20мм. Визначити товщину пластинки, якщо показник заломленая окла п= 1,5.

F 68. Принцип Ферма

В оптично однорідній речовині, тобто речовині, всі точ­ки якої характеризуються одним і тим самим значенням показника заломлення, світло поширюється прямолінійно, тобто найкоротшим шляхом між двома заданими точками. Під час переходу з одних речовин в інші світло заломлю­ється і відбивається на їх межах; у цьому випадку його шлях став ламаним. А як поширюється світло в речовині з показником заломлення, що безперервно змінюється?

Чи існує якась загальна закономірність, яка описує поши­рення світла у всіх цих випадках? Відповідь на це запи­тання дав французький математик П'ер Ферма, який в се­редині XVII століття сформулював чудовий принцип, з якого прямо випливають всі основні закони поширення світла.

Ферма припустив, що поширення світла з однієї точки в другу відбувається по шляху, проходження якого ви­магає менше часу, ніж будь-які інші шляхи між тими самими точками. В цьому й полягає суть принципу Ферма, який також називають принципом найменшого часу.

З принципу Ферма випливає, що в однорідному середо­вищі (в такому середовищі швидкість світла всюди одна­кова) світло має поширюватися прямолінійно: пряма — найкоротша відстань між двома точками, отже, і час поширення — найменший.

Покажемо тепер, що закон відбивання світла — теж прямий наслідок принципу Ферма.

Нехай з точки А на плоске дзеркало падає промінь світ­ла і нас цікавить, яким шляхом світло, відбившись від дзеркала, приходить з точки А в точку В (мал. 142). На малюнку показані деякі з можливих шляхів А А'В, АСВ, АВ'В. Таких «маршрутів» для світла можна зобразити нескінченну множину. Вони різні за довжиною, тому на їх проходження потрібен різний час. Він залежить від того, в яку точку дзеркала впаде промінь і, відбившись, піде в напрямі точки В.

З простих геометричних міркувань легко з'ясувати, куди саме повинен впасти промінь, щоб час його прохо­дження по «маршруту» точка А — дзеркало — точка В був найменшим. На малюнку 143 показано один з можливих шляхів — АСВ. Опустимо з точки В перпендикуляр на дзеркало ММ\ і продовжимо його по другий бік дзеркала до точки В', яка знаходиться від дзеркала на відстані \ОВ'\ = \ОВ\. Проведемо лінію СВ'. Утворені трикутни­ки СОВ і СОВ' рівні між собою, оскільки вони прямо­кутні, сторона ОС в них спільна і \ОВ\= \ОВ'\. Отже,

\СВ\— ІСВ'І, звідки випливає, що довжина шляху променя АСВ дорівнює сумі довжин від А до точки С падіння променя на дзеркало і від цієї точки до точки В. Зрозуміло, що ця сума буде найменшою, якщо точка С лежатиме на прямій, яка з'єднує

точки А і В'. Тоді й сума довжин ' АС\ і \СВ\, тобто довжи­на усього шляху світла буде найменшою. Найменшим буде і час проходження світлом цього шляху.

З малюнка 143 видно, що (трикут-

ник ВСВ' рівнобедрений, тому CO — бісектриса кута при вершині), аяк вертикальні. Це означає,

що кути нахилу падаючого і відбитого променів до дзер­кала дорівнюють один одному. В цьому й полягає закон відбивання світла. Однак прийнято відраховувати кути не від площини дзеркала, а від перпендикуляра до нього в точці падіння. Але зрозуміло, що коли рівні кути і та іі, то рівні й кути а та р. Закон відбивання звичайно запи­сують:

Закон цей, як бачимо,— наслідок того, що світло ніби «вибирає» шлях, який проходить за найменший час. Не­важко бачити, з принципу Ферма випливає твердження, що промінь падаючий, промінь відбитий і перпендикуляр до дзеркала в точку падіння лежать в одній площині. Коли б це було не так, то шлях був би довшим і вимагав би більше часу.

З принципу Ферма можна дістати й закон заломлення світлових променів. Мова йде про перехід світла із середо­вища / до середовища // через межу розділення між ними (мал. 144). Середовища відрізняються швидкостями поширення в них світла.

Розглянемо випадок, коли першим середовищем є ва­куум, у якому швидкість світла с, а другим середовищем — прозора речовина (наприклад, скло, вода тощо), в якій швидкість світла v менша ніж с:

Між точками А в середовищі / і В в середовищі // та­кож можлива нескінченна множина шляхів, але, згідно

з принципом Ферма, світло «обирає» той з них, для про­ходження якого потрібен найменший час. Зрозуміло, наприклад, що шлях А А'В не є таким шляхом, тому що тут світло проходить коротку (найкоротшу) відстань у середо­вищі з великою швидкістю і велику відстань у середовищі з малою швидкістю. Можливо, вигіднішим є шлях АВ'В? Тут світло в середовищі з малою швидкістю проходить мінімальну частину шляху, а найбільша частина припадає на середовище з великою швидкістю. Але чи цей шлях є найбільш вигідним з точки зору економії часу? Можливо, вигідніше дещо збільшити шлях у середовищі // з тим, щоб скоротити шлях у середовищі /? Інакше кажучи, треба знайти, в якій точці світловому променю треба перетнути межу розділення двох середовищ, щоб час проходження від А до В був найменшим.

Позначимо відстань між А' і В' через d. Якщо шу­кана точка перетину С межі розділення середовищ знаходиться на відстані х від А', то від В' вона перебуває на відстані d—x (див. мал. 144). Шлях АС, пройдений світлом в середовищі /, дорівнюєа час проходжен-

ня цього шляху

Шлях СВ. який світло проходить у середовищі //, дорівнюєа час, потрібний для проходження

цього шляху,

Загальний час t визначається рівністю:

(68.1)

Час t залежить лише від х — координати точки падін­ня променя, оскільки величини у і, і/о, с, v і d — сталі, тобто однакові при всіх значеннях х. Потрібно знайти, при яко­му значенні х час t буде найменшим. Для цього візьмемо похідну від t no х і прирівняємо одержаний вираз до нуля:

(68.2) З малюнка 144 видно, що

де а — кут між

падаючим променем і перпендикуляром до межі розділен­ня в точці падіння (кут падіння) і Р — кут між дим перпен­дикуляром і заломленим променем (кут заломлення). Умова (68.2) набуває такого вигляду:

У цьому і полягає закон заломлення для даного ви­падку: відношення синуса куга падіння до синуса кута заломлення дорівнює відношенню швидкостей поширення світла у вакуумі і в середовищі, яке з ним межує, і це від­ношення є показником заломлення речовини.

Оскільки будь-який шлях від точки А до точки В, яка лежить поза площиною, проведеною через точки А і В нерпендикулярно до межі розділення, світло проходить за більший час, ніж шлях АС В, який лежить в площині жадіння, то з принципу Ферма випливає: шлях, який вимагає мінімального часу, лежить у площині падіння, тобто падаючий і заломлений промені лежать в одній ■лощині — площині падіння.

Принцип Ферма справедливий, звичайно, не лише для тих найпростіших прикладів відбивання й заломлення евітла, які ми тут розглянули. За допомогою цього прин­ципу можна зрозуміти і точно розрахувати хід ироменів і в привмі, і в лінзі і в будь-якій найскладнішій системі призм, лінз, дзеркал.