- •Введение
- •1. Задание к курсовой работе
- •Задания к курсовой работе по вариантам
- •2. Случайные величины дискретного типа
- •2.1. Биномиальное распределение b(n,p)
- •2.2. Распределение Пуассона п()
- •2.3. Геометрическое распределение g(p)
- •3. Случайные величины непрерывного типа
- •3.4. Гамма-распределение
- •3.5. Нормальное (гауссово) распределение
- •3.7. Распределение Вейбулла
- •4. Алгоритм имитационного моделирования
- •Законы распределения времен безотказной работы элементов и воздействия внешней среды помещены в таблицу:
- •Р и с. 8. Получение случайных чисел
- •5. Статистическая обработка данных
- •5.1. Вычисление основных характеристик выборки
- •5.2. Формирование статистического ряда
- •5.3. Подбор походящего распределения вероятностей
- •6. Определение характеристик надежности системы
- •7. Рекомендации по содержанию
- •Библиографический список Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Оглавление
2.2. Распределение Пуассона п()
Случайная величина X имеет распределение Пуассона, если она принимает любые целые неотрицательные значения m = 0,1,2,… с вероятностями
. (2)
Число называется параметром распределения Пуассона. Множество случайных величин, имеющих распределение Пуассона с параметром , будем обозначать П().
Таким образом, X может принимать счетное множество значений, и закон распределения этой случайной величины задается следующей таблицей:
Н а рис.4 показаны вероятности P(X = m) значений распределения Пуассона при = 0,5 и = 2 соответственно.
Р и с. 4. Вероятности значений распределения Пуассона
Распределение Пуассона играет важную роль в физике, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. — всюду, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий: радиоактивных распадов, появления метеоритов, телефонных вызовов, помех в каналах связи, отказов оборудования, дорожных происшествий, несчастных случаев и т.д.
Распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения, если в схеме Бернулли число испытаний n стремится к бесконечности, а вероятность p появления события в каждом испытании стремится к нулю, причем так, что . Отсюда получаем приближенную формулу
,
пригодную для практических расчетов. Этой формулой рекомендуется пользоваться, если , а .
Для распределения Пуассона , , .
Пример 3. Вероятность выпуска дефектного изделия . Из продукции выбрано изделий n = 5000. Найти вероятность того, что среди них окажется два или более дефектных изделия.
Параметр . Определим требуемую вероятность:
.
Так как , , искомая вероятность .
При точных расчетах, .
О пределение вероятностей случайной величины X, подчиненной распределению Пуассона с параметром = 0,4, выполненное в Excel, показано на рис.5.
Р и с. 5. Распределение Пуассона П(0,4)
В ячейке C2 находится значение параметра = 0,4. В ячейках A5:A9 содержатся возможные значения распределения Пуассона: 0, 1, 2, 3, 4; значения 5, 6,… опущены. В ячейках B5:B9 — вероятности этих значений, вычисленные по формуле (2). Так содержимое ячейки B5:
B5 = ПУАССОН(A5;$C$2;ЛОЖЬ).
Ячейки C5:C9 содержат накопленные суммы вероятностей, а именно, C5 = B5, C6 = C5 + B6, C7 = C6 + B7, и т.д.
Разыгрывание случайной величины, подчиненной распределению Пуассона, производится по формуле:
где — равномерно распределенное случайное число из промежутка [0;1]. Например, чтобы получить 10 значений случайной величины, надо в ячейку E3 записать СЛЧИС(), а в ячейку F3 — формулу
= ЕСЛИ(E3<$C$5;$A$5;ЕСЛИ(E3<$C$6;$A$6;ЕСЛИ(E3<$C$7;
$A$7;ЕСЛИ(E3<$C$8;$A$8;$A$9)))).
После копирования содержимого пары ячеек E3:F3 на блок E4:F12 в ячейках F3:F12 получим 10 значений случайной величины, имеющей распределение Пуассона.
2.3. Геометрическое распределение g(p)
Вероятность появления события в одном испытании равна p. Производится серия из нескольких независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться событие . Испытания продолжаются до тех пор, пока не появится событие . Случайная величина X, равная числу испытаний до первого появления события , имеет геометрическое распределение вероятностей.
Очевидно, что случайная величина X может принять одно из значений m = 1, 2, 3,…. Значение X равно m, если в m-1 - м испытании событие не произойдет, а в m - м испытании событие произойдет. Поэтому
. (3)
Множество случайных величин, имеющих геометрическое распределение с параметром p, обозначается G(p).
Для геометрического распределения
, , .
Пример 4. В магазине покупатель выбирает компьютер до тех пор, пока не найдет наиболее подходящий. Вероятность того, что ему понравится компьютер, составляет . Требуется составить таблицу распределения вероятностей случайной величины X, равной числу компьютеров, просмотренных покупателем.
Очевидно, что случайная величина X имеет геометрическое распределение вероятностей. Она может принимать значения 1, 2, 3,…. Так как , то по формуле (3) вероятности этих значений:
; ; ;
и т.д. В результате получим таблицу распределения вероятностей:
-
X
1
2
3
…
P
0,3
0,21
0,147
…
Геометрическое распределение G(p) определяется одним параметром p. Фрагмент таблицы этого распределения, выполненный в Excel, представлен на рис.6.
Р и с. 6. Геометрическое распределение G(0,6)
В ячейке C2 находится значение параметра p, равное 0,6. В ячейках A5:A15 содержатся возможные значения геометрического распределения, в ячейках B5:B15 — вероятности этих значений, вычисленные по формуле (3). Так, содержимое ячейки B5:
B5 = $C$2*(1 - $C$2)^(A5 - 1).
Ячейки C5:C15 содержат накопленные суммы вероятностей, а именно: C5 = B5, C6 = C5 + B6, C7 = C6 + B7, и т.д.
Для разыгрывания случайной величины, подчиненной геометрическому распределению, применяется формула
,
где — равномерно распределенное случайное число из промежутка [0;1]. Например, чтобы получить 10 значений случайной величины, надо в ячейке E5 записать формулу
E5 = ЦЕЛОЕ(LN(СЛЧИС()) / LN(1 - $C$2)) + 1
и скопировать ее в ячейки E6:E14.