- •Федеральное государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Красноярский юридический техникум
- •Пояснительная записка
- •Функция Понятие функции. Способы задания и свойства
- •Решение типовых заданий
- •Упражнения и задания для самостоятельной работы
- •Предел функции. Методы вычисления пределов функции.
- •Основные теоремы о пределах
- •Решение типовых заданий
- •Упражнения и задания для самостоятельной работы
- •Непрерывность функции
- •Односторонние пределы Скачок функции
- •Раскрытие неопределенностей
- •Решение типовых заданий
- •Упражнения и задания для самостоятельной работы Теоретические вопросы
- •Задание 1. Доказать, что функция непрерывна в точке (найти ).
- •Задание 3. Вычислить пределы функции.
- •Задача 5. Вычислить пределы функций.
- •Задача 6. Вычислить пределы функций.
- •Список рекомендуемой литературы
Решение типовых заданий
Пример 1. Найти область определения функций
а) ; б) ; в) .
Решение. а) Область определения функции X найдем
из системы неравенств откуда или .
б) Имеем систему . Решая первое неравенство,
получим ; решая второе, найдем , откуда и . С помощью числовой оси (рис.4) находим решение системы неравенств: ,т.е. область определения функции.
Рисунок 4
в) Область определения найдем из неравенства, откуда . Так как при любом , то перейдем к равносильному неравенству, откуда
, или
Очевидно, что полученные неравенства справедливы при любом , т.е. область определения функции .
Пример 2. Найти область значений функций:
Решение. Преобразуем функцию
Так как синус любого угла по абсолютной величине не превосходит 1, т.е. , то , ,
Итак, область значений функции
Пример 3. Выяснить четность (нечетность) функций:
а)
б)
в)
решение:
а) Так как , то данная функция четная;
б) (после преобразований).
Так как , то данная функция четная.
в)
Так как и , то данная функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная.
Упражнения и задания для самостоятельной работы
Теоретические вопросы
-
Что такое функция?
-
Какие существуют способы задания функций?
-
Какую функцию называют периодической? Что такое период функции?
-
Какая функция называется четной? нечетной?
-
Какая функция называется монотонной.
Задание 1. Найти область определения функции.
Задание 2. Найти область значения функции.
Задание 3. Выяснить четность (нечетность) функции:
-
-
-
-
-
-
-
;
-
-
.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Задание 4. Построить графики функции:
-
Предел функции. Методы вычисления пределов функции.
Определение: Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки а. Если она непрерывна в точке а, то назовем ее значение в точке пределом функции при стремлении х к а и будем писать
.
Если функция разрывна в точке , то может случиться, что этот разрыв устранимый. Тогда можно изменить значение функции в точке или доопределить ее в этой точке так, что в результате получится функция, непрерывная в точке .
Примеры:
-
Вычислить .
Т.к. функция непрерывна в точке , то предел функции при , равен ее значению в этой точке, т.е.
.
-
Вычислить .
Здесь нельзя воспользоваться рассуждением предыдущего примера, поскольку функция не определена, а значит, разрывна в точке . Выполним некоторые преобразования аналитического выражения этой функции:
.
В проколотой окрестности точки функция совпадает с функцией , непрерывной в этой точке и принимающей в ней значение . Таким образом
.