Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если каждое слагаемое алгебраической суммы конечного числа функций имеет предел при , то предел этой алгебраической суммы при существует и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых.

.

Терема 2. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то предел произведения при равен произведению пределов сомножителей.

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Следствие 2. Если функция имеет предел при , то предел при целой положительной степени ее равен такой же степени предела этой функции, т.е.

, (n – натуральное число).

Теорема 3. Если функция имеет предел при , отличный от нуля, то предел при обратной ей по величине функции равен обратной величине предела данной функции, т.е.

.

Теорема 4. Если делимое и делитель имеют пределы при и предел делителя отличен от нуля, то предел их частного (дроби) при равен частному пределов делимого (числителя дроби) и делителя (знаменателя дроби), т.е.

.

Теорема 5. Если функция имеет предел при и (n – натуральное число) существует в точке и в некоторой ее окрестности, то

.

Решение типовых заданий

Пример 1. Найти: а) ; б) ; в) ; г) .

Р е ш е н и е: а) На основании непрерывности функции в точке х=7 искомый предел равен значению функции в этой точке, т.е. .

б) При числитель (3х+5) стремится к (т.е. является ограниченной функцией), а знаменатель (х-5) – к нулю (т.е. является бесконечно малой величиной); очевидно, их отношение есть величина бесконечно большая, т.е. =.

в) =0, ибо отношение ограниченной функции sinx к бесконечно большой величине х (при ) есть величина бесконечно малая.

г) =0, т.к. произведение бесконечно малой величины х (при) на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая.

Заметим, что этот предел нельзя вычислять с помощью теоремы о пределе произведения, поскольку не существует (при аргумент косинуса изменяется непрерывно вдоль числовой оси до бесконечности, при этом значения колеблются от -1 до 1 и от 1 до -1, не стремясь ни к какому числу (пределу).

В рассмотренных примерах предел находится сразу: в виде числа или символа . Но чаще при вычислении пределов мы сталкиваемся с неопределенностями, когда результат нахождения предела неясен: например, в случае отношения двух бесконечно малых функций (условное обозначение ) или бесконечно больших . Кроме отмеченных неопределенностей вида и в математическом анализе рассматриваются также неопределенности вида , ,, , .

Пример 2. Найти:

а) ; б) ; в) .

Р е ш е н и е: а) для раскрытия неопределенности вида

Разложим числитель на множители и сократим дробь множитель (х-1): сокращение возможно, т.к. при (х-1) стремится к нулю, но не равен нулю.

===.

б) Для раскрытия неопределенности вида умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, получим:

в) Для раскрытия неопределенности вида удобно предварительно сделать замену (тогда , при ), а затем полученные многочлены разложить на множители: ==.

Пример 3. Найти: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

Р е ш е н и е: а) Имеем неопределенность вида . Учитывая, что поведение числителя и знаменателя при определяется членами с наибольшими показателями степеней (соответственно и ), разделим числитель и знаменатель на , т.е. на х с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя. Используя теоремы о пределах, получим:

.

б) Используя тот же прием, что и в п.а), можно показать, что

==, т.е. предел отношения двух многочленов равен 0, отношению коэффициентов при старших степенях х или , если показатель степени числителя и соответственно меньше, равен или больше показателя степени знаменателя m.

Рекомендуем запомнить это правило.

в) Имеем неопределенность вида . Здесь выражению в числителе условно можно приписать степень , а в знаменателе степень m=2; т.к. , то на основании правила, сформулированного в п.б), искомый предел равен .

Действительно, разделив и числитель и знаменатель на , получим:

==.

г) При имеем неопределенность вида , при этом поведение числителя и знаменателя определяется вторыми слагаемыми, которые возрастают быстрее первых. Разделив числитель и знаменатель на и используя теоремы о пределах, получим:

, поскольку .

При имеем неопределенность вида , при этом поведение числителя и знаменателя определяется первыми слагаемыми, которые убывают медленнее других. Разделив числитель и знаменатель на и используя теоремы о пределах, получим:

.

д) Для раскрытия неопределенности вида разделим числитель на x, получим

так как

Пример 4. Найти:

а)

б)

в)

Решение: а) Для раскрытия неопределенности вида умножим и разделим выражение в скобках на сопряжение выражение, получим

б) При имеем неопределенность вида , ибо квадратный корень из неотрицательного числа всегда неотрицателен.

Обращаем внимание на то, что при x → в знаменателе нет неопределенности, так как он представляет сумму бесконечно больших положительных величин – величину, бесконечно большую.

в)

Пример 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Пример 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Пример 7 . Вычислить пределы функций.

Пример 8 . Вычислить пределы функций.

Пример 9 . Вычислить пределы функций.

Пример 10. Вычислить пределы функций.

Пример 11. Вычислить пределы функций.

Пример 12. Вычислить пределы функций.

Пример 13. Вычислить пределы функций.

Пример 14. Вычислить пределы функций.