3.4 Решение матричных игр с особыми структурами матрицы выигрышей.
Решением игры является вычислительным процессом, полным индивидуальных особенностей, которые могут упростить процесс решения, описать его иными простейшими формулами. Эти индивидуальные особенности вытекают из структуры платежной матрицы выигрышей. Известны некоторые такие структурные матрицы выигрышей, которые упрощают решение.
-
При антагонистических интересах двух игроков, из которых два являются «реальными» или один «реальный», а другой – природа, платежная матрица выигрышей имеет следующий вид:
где hij – выигрыш первого игрока в ситуации (ij) (он же проигрыш второго игрока), а нули вне главной диагонали обусловлены тем, что разноименные стратегии выбраны быть не могут.
Такая структурная матрица возможна, например, при формировании портфеля заказов. Задача первого игрока состоит в максимизации эффекта, например, дохода, прибыли и т.д., второго игрока – в минимизации затрат. Следовательно, в первом приближении можно считать, что эти задачи прямо противоположны и могут быть промоделированы матричной игрой – игрой с нулевой суммой, в которой выигрыш одного игрока в точности равен проигрышу второго. В такой интерпретации задача первого игрока – максимизация эффекта, остается неизменной, а задача второго игрока – минимизация затрат, заменяется минимизацией эффекта, т.е. первый игрок стремится максимизировать эффект, второй – в противовес, минимизировать его.
Ясно, что данная
матричная игра не имеет равновесия в
чистых стратегиях, так как нижняя цена
игры
,
а верхняя цена игры
,
однако как и всякая матричная игра,
имеет ситуацию равновесия в смешанных
стратегиях. В работе [3] показано, что
все стратегии первого и второго игрока
имеют положительную стратегию.
Нахождение оптимальных стратегий с учетом этого осуществляется следующим образом.
Игрок 1, придерживаясь
своей оптимальной стратегии x,
при выборе игроком 11 чистых стратегий
будет получить в среднем соответственно
выигрыши
,
которые, как нетрудно проверить, должны
быть равны значению игры:
Отсюда мы получаем:
(
3.39)
Сложив все эти равенств, мы будем иметь:
(3.40)
а так как
,
то из (3.40) следует, что
(3.41)
Значит, равенства (3.39) дают нам:
(3.42)
Симметричные рассуждения приводят к нахождению оптимальной стратегии игрока II:
(3.43)
Таким образом, стратегии игроков и цена их игры определены, формулы (3.41) - (3.43) позволяют быстро их рассчитать.
-
При антагонистическом конфликте двух игроков, из которых одним является природа (игрок I), другой – реальный (игрок II), интересы игрока II состоят в том, чтобы минимизировать убытки действий природы, а игрока I – противодействовать этому, т.е. максимизировать убытки.
В такой ситуации платежная матрица выигрышей игрока I имеет вид:
где
–
выигрыш игрока I
в ситуации (ij),
i-одно
из n
нежелательных явлений природы, для
ликвидации которого используется одно
из мероприятий, позволяющих ликвидировать
это явление, что означает, что
=0. В остальных случаях убыток от j-го
явления не зависит от того, произведено
ли j-ое
мероприятие. Для удобства расчетов
будем считать, что стратегии расположены
в матрице H
таким образом, что h1>
h2>..>hn.
Под полезностью действий природы (игрок
I)
будем понимать убытки, которые она
причиняет другой стороне (игрок II).
Интерпретаций
такой структуры игры в экономике фирмы
достаточно много, например, автоматическая
линия состоит из множества агрегатных
станков, отказ одного из них ведет к
остановке всей линии. Для предупреждения
простоя автоматической линии обычно
проводится проверка и ремонт или другие
мероприятия, входящие в систему ППР
(планово-предупредительного ремонта).
Если проверяется i-агрегатный
станок (допустим в соответствии с
системой ППР), а отказал j
и
,
то автоматическая линия простаивает,
что приводит к значительному убытку,
который существенно превышает расходы,
связанные с осмотром и заменой
неисправленных элементов оборудования
линии. Если предположить, что эти расходы
достаточно малы по сравнению с убытком,
который понесет вся система, связанная
с простоем автоматической линии, то
возникает проблема, описанная рассмотренной
игрой, т.е. требуется выбрать станок для
осмотра при условии минимизации
математического ожидания убытка.
Пусть для всех
справедливы неравенства:
(3.44)
Тогда для всех j=1,2,…,n выполняются неравенства:
(3.45)
так как
убывает
с увеличением индекса. Вследствие
неравенства (3.45) стратегия Y*,
компоненты которой определяются
неравенством:
(3.46)
является смешанной стратегией игрока II. Применяя ее против чистой стратегии i игрока I, он получит величину
(3.47)
Если игрок I применяет стратегию x*, для которой
(3.48)
против чистой стратегии j игрока II, то он получит:
(3.49)
Из (3.47) и (3.49)
следует, что величина
является значением игры, а
смешанные стратегии x* и y*-оптимальными стратегиями игроков I и II.
Допустим теперь, что неравенства (3.44) для некоторых значений k не выполняются. Тогда существует минимальный индекс p, для которого неравенства (3.44) еще выполняются, а для p-1 – нарушаются, т.е.
(3.50)
(3.51)
В силу неравенства (3.40) числа
(3.52)
неотрицательны и
в сумме равны единицы. Следовательно,
стратегия
определяется равенствами (3.52) и является
смешанной стратегией игрока II.
Применяя ее против чистой стратегии i
игрока I
он проигрывает H(i,y*),
причем для i=1,2,…,p
справедливы равенства
(3.53)
а для
из
того, что числа
убывают,
и из неравенств (3.51) следует неравенство
(3.54)
Аналогично, применяя
стратегию
где
(3.55)
Для
игрок
I
получит
(3.56)
Если же i>p, то
(3.57)
Таким образом, из (3.53)-(3.57) следует, что
(3.58)
где
Следовательно,
а оптимальные стратегии игроков определяются равенствами (3.52) и (3.55).
3. В противовес предыдущей ситуации реальным игроком является хозяйствующий субъект (игрок I), другим игроком - природа (игрок II)
Интересы игрока I состоят в том, чтобы минимизировать убытки действий природы, а игрока II противодействовать этому, т.е. максимизировать убытки.
В игровом представлении платежная матрица выигрышей для игрока I имеет вид:
,
где
-
выигрыш игрока I
(согласно принятой игровой терминологии
игрок I
фактически проигрывает, но мы говорим,
что он выигрывает и выигрыш его
отрицательный, j
– одно из n
нежелательных состояний природы, для
ликвидации которого фирма использует
одно из n
мероприятий в ее деятельности. Таким
образом, мероприятие j
нейтрализует состояние природы j,
то есть
=0,
в остальных случаях убыток от явления
природы j
не зависит произведено ли мероприятие
j
или нет.
Матрица этой игры
очень похожа на матрицу, рассмотренную
в пункте 2. отличие состоит в том, что
все ее элементы
и игроки поменялись местами: игроком I
стала фирма с ее мероприятиями, а игроком
II
– природа, противодействующая интересам
фирмы.
Интерпретацией такой ситуации может быть следующая проблема. Фирма может производить различные изделия одной номенклатурной группы, например, телевизоры различных марок. Существует спрос только на телевизоры определенной марки, но какой? Если эта марка пользуется спросом, то фирма от ее продажи получит прибыль, в противном случае понесет убытки. Убытки будут складывать из затрат на производство, хранение и т.д. Эти затраты будут существенно больше, чем затраты, связанные с изучением спроса на продукцию фирмы. Фирма требует выбрать вид изделий, который ей целесообразно производить.
Сформулированная игра может быть решена с помощью алгоритма, изложенного в п.2, а с реализацией этого алгоритма познакомимся в главе 5.