1.3. Цели игроков и их осуществление

Всякая игра включает в себя три элемента: участники игры, называемые в теории игр игроками, их действия, допускаемые в рамках данной игры (допускаемые правилами игры) и их интересы. Для точной, математической постановки вопроса эти элементы игры необходимо точно описать.

В качестве одного игрока (как уже было упомянуто) может выступать целый коллектив, группа. Будем далее считать, что все игроки в исследуемой игре нам известны и обозначены их порядковыми номерами 1,2, …,n.

Установив и перечислив всех игроков, мы должны выявить для каждого из игроков все его возможные действия, которые в теории игр называются стратегиями.

Выбор каждым игроком своей стратегии вполне определяет ход и исход игры. Поэтому в качестве исхода игры естественно рассматривать сам набор выбранных игроками стратегий. Этот набор называется ситуацией в игре. Таким образом, если игрок I располагает множеством (набором, списком) стратегий S₁, игрок 2 множеством стратегий S₂, и т. д., а игрок n - множеством стратегий S_n, то ситуацией в такой игре будет набор вида

s=(s₁, s₂, …,s_n),

где s₁ есть стратегия игрока I, выбранная им из множества стратегий S₁, s₂ – стратегия 2 , выбранная им из S₂ и т.д. Целью участия данного игрока в некоторой игре является осуществление им своих целей в возможно большей степени, а роль игроков в игре ограничивается созданием в этой игре определённой ситуации. Поэтому изучение игры имеет смысл лишь тогда, когда различные ситуации удовлетворяют игроков в разной степени.

Например, если

s=(s₁, s₂, …,s_n), t=(t₁, t₂, …,t_n) –

две ситуации, то в правилах игры должно быть зафиксировано, какая из них более предпочтительна для игрока I, какая – для игрока II и т.д.

Поговорим о предпочтениях игроков. Итак, если ситуация s=(s₁, s₂, …,s_n) для игрока предпочтительнее ситуации sⁱ=|( s ⁱ₁, s ⁱ₂, … ,s ⁱ_n) при любых стратегиях s₂, …,s_n, то действующий разумно игрок I должен предпочитать свою стратегию s₁ стратегии s ⁱ₁. А для того, чтобы определить меру предпочтительности количественно, необходимо приписать каждой ситуации некоторый вполне определенный выигрыш (доход, выгоду, полезность), который наш игрок в этой ситуации получит. Так как выигрыш каждого игрока в той или иной ситуации зависит от этой ситуации, являясь её функцией, в теории игр принято говорить о функции выигрыша каждого из игроков.

Указание функции выигрыша завершает задание игры. Теперь возможно дать формальное определение игры в математическом понимании этого слова.

Таким образом, игра Г считается заданной, если указаны:

1. все игроки: 1,2, …, n;

2. множества стратегий игроков: S₁,S₂,…,S_n;

3. функции выигрыша для каждого из игроков H₁,H₂,…H_n, определенные для каждой ситуации.

Партию игры Г можно представить себе так:

игроки 1,2,…, n независимо друг от друга выбирают свои стратегии s₁,s₂, …,s_n, создавая тем самым ситуацию (s₁, s₂, …,s_n), после чего каждый игрок из некоторого источника получает причитающийся ему в этой ситуации выигрыш.

Из сказанного следует, что целью каждого игрока в любой игре должно являться достижение такой ситуации, в которой значение его функции выигрыша будет максимальным. Необходимо подчеркнуть. Что выигрыш игрока в некоторой ситуации содержит всестороннюю её оценку со стороны этого игрока.

Однако, выбор ситуации зависит от совместных действий всех игроков в игре, а каждый отдельный игрок может влиять на её формирование лишь частично. При этом, ввиду различия интересов игроков, каждый из них будет стремится повернуть ход событий в свою пользу, добиваясь создания ситуации, устраивающей лично его. Но выбор критерия разумности поведения игроков в игре является первой из основных задач теории игр.

Необходимым признаком разумности намерений и действий игрока является осуществимость этих намерений и, следовательно, результативность соответствующих действий. Значит каждый игрок должен стремиться к такой ситуации, которая фактически может сложиться во время игры. Теперь необходимо выяснить условия, которым должна удовлетворять такая ситуация.

Пусть ситуации s=(s₁, s₂, …,s_n) и sⁱ=|( s ⁱ₁, s₂, …, s_n,) отличаются друг от друга только стратегиями первого игрока, причём H₁(s) >H₁(sⁱ) (вторая ситуация для первого игрока предпочтительнее). В этом случае, если игрок I усмотрит, что дело идет к выбору игроками 2, …, n стратегий s₂, …, s_n соответственно, то не станет выбирать стратегии s₁, а предпочтет стратегию s ⁱ₁.Следовательно, намерения игроков 2, …, n достичь ситуации s неосуществимы и разумными их считать нельзя. Таким образом, игрок I помешал в данном случае созданию ситуации s.

Значит, для того, чтобы ситуация s^*=|( s^*₁, s^*₂, … ,s^*_n) могла стать целью разумно действующих игроков, необходимо, чтобы она обладала следующими свойствами:

H₁(s⁸) ≥ H₁ ( s₁, s^*₂, … ,s^*_n) s₁S₁

H₁(s⁸) ≥ H₁ (s^*₁, s₂, … ,s^*_n) s₂ S₂

_…

H₁(s⁸) ≥ H₁ (s^*₁, s^*₂, … ,s_n) s_n S_n.

Ситуации, обладающие такими свойствами носят название ситуаций равновесия. Такие ситуации могут складываться в результате разумного выбора игроками своих стратегий. Также, только такие ситуации могут быть зафиксированы игроками в договорах между ними. Допустим, что игроки своими действиями создадут некоторую неравновесную ситуацию. Тогда для этой ситуации нарушится хотя бы одно из вышеперечисленных условий. Это означает, что хотя бы для одного игрока найдется такая его стратегия, которая приведет его к лучшему для него исходу в игре. Следовательно, данный игрок во имя увеличения своего выигрыша вынужден нарушить свои обязательства.

Далее возникает вопрос о существовании в игре ситуации равновесия. В случае отрицательного ответа на этот вопрос существовали бы игры, в которых игроки принципиально не могут найти разумных способов игры. Сложным является также вопрос о единственности ситуаций равновесия игры. Для одного игрока предпочтительны одни ситуации равновесия, для другого – другие и т.д. Поэтому если игра имеет много ситуаций равновесия, появляется необходимость выбирать из них те, которые наилучшим образом устраивали игроков. Позже остановимся на этом более подробно.

11