- •Краткие сведения о средах моделирования Matlab и Scilab
- •Работа в Matlab и Scilab
- •Элементы программирования на языках Matlab и Scilab
- •Операция присваивания
- •Константы
- •Арифметические операции. Функции
- •Операторы отношения и их функции
- •Логические операторы
- •Создание и использование массивов
- •Определитель матрицы
- •Обращение матриц — функции inv, pinv
- •Определение размерности матриц
- •Построение графиков функций в Matlab и Scilab Построение графиков
- •Изображение сетки в графической области
- •Создание m-файлов-функций в Matlab
- •Редактирование и отладка файлов-сценариев Scilab
- •Структура функций Scilab
- •Управляющие структуры языка программирования Matlab и Scilab
- •Диалоговый ввод-вывод
- •Циклы типа for-end
- •Циклы типа while_end
- •Условный оператор if-elseif-else-end
- •Переключатель
- •Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Решение дифференциальных уравнений
- •Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в среде Scilab
-
Переключатель
Для осуществления множественного выбора (или ветвления) используется конструкция с переключателем:
Matlab |
Scilab |
switch switch_Bыражение case _Bыражение Список_ инструкций case { case_Bыражение1, case_Bыражение2,… } Список_ инструкций otherwise, Список_ инструкций end |
select expr0, case expr1 then instructions1, case expr2 then instructions2, ... case exprn then instructionsn, [else instructions], end |
Выполняется первый оператор case, у которого case_Bыражение соответствует switch_Bыражению. Если ни одно из case_Bыражений не соответствует switch_Bыражению, то выполняется список инструкций после оператора otherwise (если он существует). Выполняется только один case, после чего выполнение продолжается с оператора после end.
Пример Matlab
Пусть существует m-файл-сценарий swit.m:
switch month
case {1,2,3}
disp('Первый квартал')
case {4,5,6} disp('Второй квартал')
case{7,8,9} disp('Третий квартал')
case{10,11,12} disp('Четвертый квартал')
otherwise,
disp('Ошибка в данных')
end
Эта программа в ответ на значения переменной month (номер месяца) определяет номер квартала и выводит сообщение. Как это происходит, видно из следующей программы:
month=3;
swit
Первый квартал
month=10;
swit
Четвертый квартал
month=13;
swit
Ошибка в данных
Пример Scilab
while %t do
n=round(10*rand(1,1))
select n
case 0 then
disp(0)
case 1 then
disp(1)
else
break
end
end
n =
2.
-
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Анализ поведения многих систем и устройств в динамике, а также решение многих задач в теории управления обычно базируются на решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Их, как правило, представляют в виде системы из дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши с граничными условиями y(t0 tend, p)=b, где tend, t0 — начальные и конечные точки интервалов. Параметр t не обязательно означает время, хотя чаще всего решение дифференциальных уравнений ищется во временной области. Вектор b задает начальные и конечные условия.
Ниже коротко описаны численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и некоторые вспомогательные функции, полезные для решения систем ОДУ.
-
Решение дифференциальных уравнений
MatLab предоставляет возможности для решения обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка и систем с начальными условиями, т.е. задачи Коши.
Решатели реализуют следующие методы решения систем дифференциальных уравнений, причем для решения жестких систем уравнений рекомендуется использовать только специальные решатели ode15s , ode23s, ode23t, ode23tb:
-
ode45 - одношаговые явные методы Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядка. Это классический метод, рекомендуемый для начальной пробы решения. Во многих случаях он дает хорошие результаты;
-
ode23 - одношаговые явные методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядка. При умеренной жесткости системы ОДУ и низких требованиях к точности этот мето;. может дать выигрыш в скорости решения;
-
ode113 - многошаговый метод Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка Это адаптивный метод, который может обеспечить высокую точность решения
-
ode23tb - неявный метод Рунге-Кутта в начале решения и метод, использующий формулы обратного дифференцирования 2-го порядка в последующем
Несмотря на сравнительно низкую точность, этот метод может оказаться более эффективным, чем ode15s;
-
ode15s - многошаговый метод переменного порядка (от 1 до 5, по умолчанию 5), использующий формулы численного дифференцирования. Это адаптивный метод, его стоит применять, если решатель ode45 не обеспечивает решения;
-
ode23s - одношаговый метод, использующий модифицированную формулу Розенброка 2-го порядка. Может обеспечить высокую скорость вычислений при низкой точности решения жесткой системы дифференциальных уравнений;
-
ode23t - метод трапеций с интерполяцией. Этот метод дает хорошие результаты при решении задач, описывающих колебательные системы с почти гармоническим выходным сигналом;
Все решатели могут решать системы уравнений явного вида у' = F(t, y). Решатели ode15s и ode23t способны найти корни дифференциально-алгебраических уравнений M(t)y' = F(t, у), где М называется матрицей массы. Решатели ode15s, ode23s, ode23t и ode23tb могут решать уравнения неявного вида M(t,y) у' = F(t, у).
-
ode23tb, ode23s служат для решения жестких дифференциальных уравнений.
-
ode15s - жестких дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений,
-
ode23t - умеренно жестких дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений.
В описанных далее функциях для решения систем дифференциальных уравнений приняты следующие обозначения и правила:
-
options - аргумент, создаваемый функцией odeset - позволяет вывести параметры, установленные по умолчанию;
-
tspan - вектор, определяющий интервал интегрирования [t0 tfinal]. Для получения решений в конкретные моменты времени t0, tl,..., tfinal (расположенные в порядке уменьшения или увеличения) нужно использовать tspan = [t0 tl ... tfinal];
-
у0 - вектор начальных условий;
-
Т, Y - матрица решений Y, где каждая строка соответствует времени, возвращенном в векторе-столбце Т.
Этапы решения ОДУ:
1 Приведение дифференциального уравнения к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого вводится столько дополнительных функций, каков порядок уравнения.
2 Написание специальной файл-функции для системы уравнений. Файл-функция содержит два входных аргумента: переменную t, по которой производится дифференцирование, даже если она входит в уравнение неявно, и вектор, размер которого равен числу неизвестных функций системы.
3 Вызов подходящего солвера (встроенной функции). Входными аргументами солвера, в простом случае, являются имя файл-функции в апострофах, вектор с начальным и конечным значениями переменной
Покажем применение решателя ОДУ на ставшем классическом примере - решении уравнения Ван-дер-Поля, записанного в виде системы из двух дифференциальных уравнений:
y'1 = y2 ;
y'2 = Mu*(1 - y1^2)*y2 - y1;
при начальных условиях
y1(0) = 2;
y2(0) = 0;
Перед решением нужно записать систему дифференциальных уравнений в виде ode-функции. Для этого в главном меню выберем File > New > M-File и введем
function dydt = vanderpol(t, y)
global Mu
dydt = [y(2);
Mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];
Сохраним m-файл-функцию. Тогда решение решателем ode45 и сопровождающий его график можно получить, используя следующие команды:
global Mu = 1;
tspan = [0, 20];
y0 = [2; 0];
[t,y] = ode45(@vanderpol, tspan, y0, [], Mu);
% Plot of the solution
plot(t,y(:,1))
xlabel('t')
ylabel('solution y')
title('van der Pol Equation, \mu = 1')
Решение решателем ode15s и его график можно получить, используя следующие команды:
tspan = [0, 3000];
y0 = [2; 0];
Mu = 1000;
[t,y] = ode15s(@vanderpol, tspan, y0, [], Mu);
plot(t,y(:,1))
title('van der Pol Equation, \mu = 1000')
axis([0 3000 -3 3])
xlabel('t')
ylabel('solution y')