7.1. Схема без возвращения с упорядочением

Из урны с n шарами извлекается m шаров по одному, при этом порядок важен, т. е. какой шар окажется на первом, втором и т. д. местах имеет принципиальное значение. Первый шар может быть выбран n способами, второй n1 способами (выбор из n1 шара) и т. д. и, наконец, последний m-й шар  nm+1 способами. Поскольку выбор шара на каждом шаге может комбинировать со всеми способами выбора остальных шаров, то общее количество возможных вариантов составляет

N=n(n1)...[nm+1] = = =.

	1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6	 12 13 14 15 16 21  23 24 25 26 31 32  34 35 36 41 42 43  45 46 51 52 53 54  56 61 62 63 64 65 

Величина , известная под названием “число размещений”, получена путем умножения и деления исходного выражения на одно и то же значение (n m)!. Начальная часть формулы для случая m =n дает N=n!, а при m =0 из последней части формулы находим N=1 и этот результат полностью соответствует ситуации, поскольку ни один элемент из любой совокупности может быть извлечен одним единственным способом. Таким образом = n!, = 1.

Пример. Какова вероятность того, что последовательное расположение номеров двух шаров, наугад извлеченных без возвращения один за другим из урны с шестью перенумерованными шарами, даст двузначное число, кратное 7, т.е. делящееся на семь нацело. Таким образом, вводя соответствующие обозначения будем искать Р(“”), где  номера первого и второго шаров, а  натуральное число. В помощь решению задачи составим таблицу всех мыслимых исходов. Всего исходов N = = 6·5 = 30, что подтверждает таблица, при шести благоприятных исходах  по одному в каждой строке таблицы: 14, 21, 35, 42, 56, 63. Тогда искомая вероятность

Р(“”) = = = 20%,

что не так уж и мало.

7.2. Схема без возвращения и без упорядочения

При извлечении из урны m шаров одного за другим их порядок не имеет значения, т.е. выборки отличаются только составом. В этих условиях комбинации (1, 2) и (2, 1) в отличие от предыдущего примера становятся неразличимыми. Подобная ситуация может возникнуть, если на экзамене преподаватель по доброте душевной разрешает вытащить сразу два билета и тогда для студента по существу важны только сами номера билетов и безразлично какая комбинация номеров ему досталась (3, 7) или (7, 3).

В совокупности из m шаров возможно произвести m! перестановок, которые по условию неразличимы между собой. Поэтому общее количество вариантов (исходов) по сравнению с предыдущей схемой должно быть меньше в m! раз и составит

N = = = .

Величина называется числом сочетаний из n элементов по m.

Для обеспечения дееспособности данной формулы при всех целых 0mn чисто формально принимается = = 1, поскольку не выбрать ни одного элемента (m=0) или выбрать все элементы из любой совокупности (m=n) в рассматриваемых условиях можно только одним способом.

Пример. В урне находится 7 черных шаров и 3 белых. Какова вероятность события А=”из 4-х наугад выбранных шаров ровно 2 будут белыми”.

В силу отличия различных комбинаций из 4-х шаров исключительно составом всего исходов насчитывается

N = = = = 210.

Количества исходов выбора двух белых и черных шаров равны соответственно = 3 и = 21. Поскольку каждый вариант выбора белых шаров может сочетаться с любым вариантом выбора черных шаров, то число благоприятных исходов выразится величиной 3·21=63 и, тогда,

Р(А) = = 0,3.

7.3. Схема с возвращением и с упорядочением

Из урны с n шарами m раз повторяется процедура извлечения шара и его возвращения обратно с фиксацией порядка вытащенных шаров. На каждом шаге такого эксперимента ситуация одна и та же  выбирается любой из n шаров, что естественно может быть сделано n способами. В результате опыта образуется набор из m шаров, в котором каждый шар может комбинировать с каждым, в том числе и с самим собой. Всего возможных исходов

m

N = n· n· . . . · n = .

Пример. Из телефонной книги с 7- значными номерами наугад выбирается номер. Найти вероятность того, что все цифры в номере различны, если все комбинации цифр в номере равновозможны. Иными словами условиями задачи допускаются номера 0000000, 0001111, 1010101 и т.п.

Общее количество номеров в такой схеме N = = 10000000.

Благоприятные исходы представляют наборы из 7 цифр, отличающиеся не только самими цифрами, но и их порядком. Тогда количество благоприятных исходов определяется числом размещений m = и потому

Р(А) = ≈ 0,06.

7.4. Схема с возвращением без упорядочения

Из урны с n шарами m раз извлекается шар и возвращается обратно без учета порядка. В результате эксперимента образуются комбинации из m шаров, отличающиеся только своим составом. Для подсчета общего числа исходов естественно используется число сочетаний. Такой опыт эквивалентен извлечению одновременно n+m1 шаров c подсчетом общего числа исходов с помощью числа сочетаний. Здесь “1” образуется вследствие того, что возвращение последнего шара в урну уже никак не может повлиять на результат. Убедиться в этом помогает пример выбора одного единственного шара, что может быть сделано n способами. При этом == =n, как тому и следует быть.

Пример. Покупатель в кондитерской выбил чек на 4 пирожных из 7 видов, имеющихся в продаже. Какова вероятность того, что куплены пирожные: одного вида (событие А); разных видов (В); две пары разных видов. Содержание данной задачи соответствует схеме выбора с возвращением без упорядочения. В самом деле, купив один эклер можно купить и второй (возвращение) и при этом, какой из них куплен первым не имеет ровным счетом никакого значения.

Общее количество исходов составляет N== =210.

Число благоприятных исходов для события А определяется исходя из общего количества разных видов пирожных m(А)=7 и потому

Р(А) = = .

	1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6	12 13 14 15 16 17  23 24 25 26 27   34 35 36 37    45 46 47     56 57      67

Во втором случае благоприятными являются наборы из 4-х различных пирожных, отличающиеся только составом, т.е. m(В)==35 и, следовательно,

Р(В) = = .

Поскольку из 7 элементов можно сгруппировать =21 различных пар, то событие С реализуется с вероятностью

Р(С) = = .

Для того, чтобы убедиться в правильности подсчета количества благоприятных исходов достаточно составить таблицу с их перечислением. Полученный результат свидетельствует, что наиболее вероятным является событие В.

8 Геометрическая вероятность

Одним из классических экспериментов теории вероятностей является “вбрасывание точки” в некоторую геометрическую замкнутую область. Для определенности зададим на плоскости квадрат со стороной равной 1 и обозначим его Ω. В этот квадрат наугад вбрасывается точка и гарантированно в него попадает. Более того, предполагается, что все точки квадрата равноправны и потому все исходы такого эксперимента равновозможны в смысле попадания в любую точку Ω. Эксперимент имеет бесконечное множество равновозможных и несовместных исходов, каждый из которых отождествляется с точкой квадрата с координатами (𝑥, 𝑦). Обозначим А некоторую подобласть Ω, как это показано на рисунке, и будем считать событием А попадание в одноименную область. Прозвучавшие выше термины равновозможности, несовместности и благпприятности свидетельствуют, что мы уже совсем близки к применению формулы классической вероятности. Осталось только конкретизировать способ численного определения количества благоприятных исходов и всех мыслимых исходов. Поскольку в качестве интегральных числовых характеристик этих исходов реально мы располагаем только размерами одноименных площадей, то количество исходов каждого вида отождествляется с соответствующими площадями. При этом площадь квадрата S(Ω) выражает общее количество исходов, а S(А)  число благоприятных исходов. Тогда в соответствии с определением классической вероятности как отношения числа благоприятных исходов к общему количеству равновозможных и несовместных исходов для расчета так называемой “геометрической” вероятности события А получаем формулу

Р(А) =.

Применительно к ситуации, изображенной на рисунке, находим

Р(А) = = 0,35.

Геометрическая вероятность обладает всеми свойствами классической вероятности:

 отношение площади вложенной фигуры А к площади Ω неотрица-

тельно и не превосходит 1;

 несовместным событиям отвечают непересекающиеся области и

потому их сумме соответствует суммарная площадь;

 полному набору событий соответствует разбиение Ω на непересе-

кающиеся области, дающие в своем объединении Ω.

Для иллюстрации практического применения геометрической вероятности рассмотрим следующую задачу: юноша и девушка договорились о встрече между 19 и 20 часами, поклялись непременно придти и условились, что один ждет другого только 15 мин, а затем уходит. Какова вероятность их встречи.

Преодолев первоначальное замешательство от такой постановки вопроса, напряжем свои логические способности. Очевидно, что сначала надо выжать все возможное из имеющихся исходных данных и затем распорядиться полученной информацией сообразно ее содержанию. Итак, интервал встречи составляет 1 час. Поскольку влюбленные гарантированно приходят в этот интервал времени, то следует как-то обозначить время их прихода в долях часа: 𝑥  пришел юноша; 𝑦  пришла девушка. По условию задачи для встречи необходимо, чтобы разность между моментами их прихода вне зависимости от того кто пришел первым не превышала часа, т.е. . При наличии двух параметров 𝑥 и 𝑦 в голову сразу же приходит мысль о декартовой системе координат, в которой моменты прихода изобразятся точкой (𝑥 , 𝑦) с соответствующими координатами. Причем все точки улягутся точно в квадрат с единичной стороной. Например, если юноша и девушка пришли в 19.30 и 19.40, то такая ситуация отождествится с точкой квадрата (½, ). Далее, займемся препарированием модульного неравенства и с помощью школьных знаний без большого труда получим два неравенства:

которые в своей совокупности устанавливают ограничения на возможные изменения параметра : Обратившись к разделу “Линейное программирование” п. 5.6 нетрудно установить, что это двойное неравенство задает на плоскости область между двумя прямыми

: , и : ,

ограниченную еще к тому же рамками квадрата Ω. Построив эти прямые по двум точкам их пересечения со сторонами Ω

{: (, 0), (1, )}, { : (0, ), ( , 1) }, и определив с помощью их нормальных векторов =(1, 1) и =( 1, 1) зоны действия соответствующих неравенств получим фигуру В, обозначенную на рисунке штриховкой. Каждая точка В гарантирует встречу молодых людей, т.е. является благоприятной для одноименного события В=”встреча состоялась”. Теперь для решения задачи с полным основанием можно применить формулу геометрической вероятности. Площадь фигуры В удобно вычислить как разность площади Ω и общей площади двух не заштрихованных треугольников, которые будучи сложенными вместе по гипотенузе дадут опять-таки квадрат, но уже со стороной, равной . Тогда

Р(В) == = 1  =  = 50%.

Полученный результат свидетельствует, что при заданных исходных данных молодые люди встретятся с вероятностью немного меньшей 0.5, т.е. встреча скорее не произойдет, нежели состоится.

Таким образом, задача о встрече успешно решена с помощью изначально не очевидных, но простых геометрических построений. Рассмотренный пример изящного применения аппарата ТВ вкупе с приведенными выше схемами выбора шаров из урны демонстрируют широту возможностей этой науки в решении широкого круга практических задач.

Ранее говорилось, что вероятность суммы двух несовместных случайных событий равна сумме их вероятностей. Геометрическая вероятность помогает установить правило вычисления вероятности суммы двух событий в случае их совместности. Для начала вспомним иллюстрацию этой ситуации кругами Эйлера в случае совместности случайных событий. Здесь АВ  произведение соответствующих событий. Очевидно, что S(А+В) = S(А)+S(В)S(АВ),

поскольку при сложении площадей А и В площадь их пересечения АВ будет учтена дважды  в составе А и В. Поэтому следуя принципам геометрической вероятности в случае совместности случайных событий получаем

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)Р(АВ)

и если события несовместны, то в силу Р(АВ)=0 данная формула превращается в полученное ранее соотношение  “вероятность суммы двух несовместных случайных событий равна сумме их вероятностей”, а в противном случае в этом соотношении появляется поправочный член, учитывающий совместность случайных событий в виде вероятности их произведения. Хотя данная формула верна в общем случае приведенные здесь рассуждения не являются строгим доказательством и скорее могут рассматриваться в качестве мнемонического правила.