- •Предел и непрерывность функции одной переменной
- •Введение. Множества и операции над ними
- •Примеры числовых множеств, их стандартные обозначения
- •Пустое множество
- •Включение множеств
- •Равенство множеств
- •Операции над множествами
- •Эквивалентность множеств
- •Мощность множества
- •§ 1. Функция
- •Способы задания функции
- •Аналитический способ задания функции.
- •Табличный способ задания функции.
- •Графический способ задания функции.
- •График функции
- •Обратная функция
- •Основные элементарные функции
- •4) Тригонометрические функции.
- •5) Обратные тригонометрические функции.
- •Суперпозиция функций
- •Классификация функций
- •Задачи к § 1
- •§ 2. Бесконечно малые функции
- •Задачи к §2
- •§ 3. Свойства бесконечно малых функций
- •Задачи к §3
- •§ 4. Бесконечно большие функции
- •Задачи к §4
- •§ 5. Предел функции
- •Односторонние пределы
- •Свойства предела функции
- •Задачи к §5
- •§ 6. Теоремы о вычислении предела функции. Неопределенности
- •Задачи к §6
- •§ 7. Замечательные пределы
- •2) Число . Натуральные логарифмы
- •§ 8. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые
- •Вычисление пределов степенно-показательных функций
- •Задачи к §8
- •§ 9. Непрерывность функции
- •Второе определение непрерывности
- •Точки разрыва
- •Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке
- •Задачи к §9
- •Литература
- •Оглавление
§ 7. Замечательные пределы
Устанавливаемые в этом параграфе соотношения позволяют в некоторых случаях раскрывать неопределенности и находить значения пределов.
1) Теорема 7.1. Справедливо соотношение
.
Доказательство. Достаточно рассмотреть , так как . Обратимся к рис. 7.1. На нем изображена окружность, радиус которой равен . Точки , , лежат на этой окружности, причем ( – точка пересечения хорды и радиуса ). В точках и к окружности проведены касательные. Они пересекаются в точке , лежащей на прямой .
Рис. 7.1.
Из рис. 7.1 очевидны соотношения:
; ; .
Так как , то
.
Разделив все три части неравенства на и перейдя к обратным величинам, будем иметь
.
Применяя теорему 5.5 о сжатой переменой и учитывая, что по теореме 6.1 , получим
.
Теорема доказана.
2) Число . Натуральные логарифмы
Рассмотрим график функции . При любом значении (рис. 7.2) он проходит через точку . Построим касательную к графику в точке . Воспользуемся при этом следующим определением.
Определение 7.1. Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей при стремлении точки к точке вдоль кривой .
Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке зависит от значения основания логарифма . Из всех значений выделим то, для которого угловой коэффициент касательной . Это значение обозначим через . Последнее является иррациональным числом: . Логарифмы по основанию называются натуральными логарифмами и обозначаются символом «».
Теорема 7.2. Справедливо соотношение
.
Доказательство. Обратимся к рис. 7.2. Рассмотрим угловой коэффициент секущей
.
Рис. 7.2.
Угловой коэффициент касательной (с углом наклона ) может быть получен как предел углового коэффициента секущей при , то есть при .Таким образом,
.
После замены получим
.
Теорема 7.2 доказана.
3) Теорема 7.3. Для справедливо соотношение:
.
Доказательство. Введем переменную , откуда . Если , то . Тогда
.
Теорема 7.3 доказана.
4) Теорема 7.4. Для справедливо соотношение:
.
Доказательство. Будем рассматривать значения . Введем переменную . Из определения переменной следует, что , откуда . Если , то . Умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на равные величины и соответственно и по теореме 6.2 перейдем к произведению пределов
.
В силу теоремы 7.2
.
Теорема доказана.
Пример 7.1. Вычислить предел
, .
Решение. Имеем неопределенность типа . Введем обозначение . В силу теоремы 6.2 если , то . По теореме 7.1 получим:
.
Пример 7.2. Вычислить предел
, .
Решение. Имеем неопределенность типа . Преобразуем выражение под знаком предела:
По теореме 6.2 перейдем к произведению пределов. Введем обозначения , . По теореме 6.2 если , то и . Используя теоремы 7.3 и 7.4, получим:
Пример 7.3. Вычислить предел
.
Решение. Имеем неопределенность типа . Вынося за скобки общий множитель , преобразуем рассматриваемое выражение, используя свойства логарифмов:
.
Введем обозначение . В силу теоремы 4.1 (об обращении бесконечно малых и бесконечно больших) если , то . Используя теорему 7.2, получим:
.