Ключевые понятия

Высказывание. Отрицание. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Эквиваленция. Логические формулы. Равносильность.

1. Высказывания. Логические операции над высказываниями

Математическую логику можно определить как науку, которая сложилась в результате применения в логике формальных методов математики, с одной стороны, и логического исследования математических рассуждений и доказательств, с другой стороны.

Исходным понятием в математической логике является высказывание. Как раздел математической логики логика высказываний посвящена изучению логических связей между высказываниями.

Высказывание – повествовательное предложение (выражение), о котором можно сказать, что оно истинно или ложно. Повелительные, вопросительные, бессмысленные выражения не являются высказываниями. Не являются высказываниями выражения, которые допускают неоднозначную трактовку (например, «Сегодня плохая погода»).

Высказывания принято обозначать прописными латинскими буквами. В дальнейшем значения «истина» будем обозначать цифрой «1», а «ложь» – цифрой «0» и называть истинностным (логическим) значением высказывания.

Примеры высказываний: «Сегодня понедельник», «Волк – хищное животное».

Высказывание, в котором говорится об одном-единственном событии, называется простым (элементарным) высказыванием. Сложным (составным) высказыванием называется высказывание, составленное из простых высказываний с помощью логических операций.

Рассмотрим основные логические операции (связки) над высказываниями.

Отрицанием высказывания А называется высказывание, которое является истинным, когда высказывание А ложно, и ложным, если А истинно.

Обозначения: ,  А (читается «не А»). Связка «» А одноместная (унарная), так как применяется только к одному утверждению.

Свойства операций описывают с помощью таблиц истинности. В этих таблицах приводятся истинностные значения логической операции в зависимости от истинностных значений элементарных высказываний. Таблица истинности для операции отрицания:

А
1	0
0	1

Конъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание Z, которое является истинным только тогда, когда оба высказывания А, В истинны, и ложным – во всех других случаях.

Обозначения: Z = А  В (иногда А & В, А  В). Читается «А и В». Связка «» двуместная (бинарная), так как связывает два высказывания.

Таблица истинности имеет вид:

А	В	А  В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание Z, которое является истинным, если хотя бы одно из высказываний А или В истинно, и ложным – когда ложно как А, так и В.

Обозначения: Z = А  В (иногда А + В), читается «А или В». Связка «» бинарная.

В данном случае союз «или» понимается в соединительном, а не в разделительном смысле, т.е. для истинности высказывания А  В допускается истинность двух высказываний А и В.

Таблица истинности:

А	В	А  В
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Импликацией двух высказываний А и В называется новое высказывание Z, которое будет ложным в том случае, когда А – истинно, а В – ложно, и истинным во всех других случаях.

Обозначения: Z = А  В, читается «если А, то В», «из А следует В». Связка «» бинарная.

Таблица истинности:

А	В	А  В
1	1	1
0	1	1
1	0	0
0	0	1

Эквиваленцией двух высказываний А и В называется новое высказывание Z, которое будет истинным только тогда, когда оба высказывания А и В одновременно истинны или ложны, и ложным в остальных случаях.

Обозначения: Z = А  В (иногда А  В, А  В), читается «А эквивалентно В», «А равнозначно В», «для того, чтобы А, необходимо и достаточно, чтобы В», «А тогда и только тогда, когда В».

Таблица истинности:

А	В	А  В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1