- •Лекция 1 предел последовательности
- •1 Понятие числовой последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся числовых последовательностей
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •2 Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности. Основные способы вычисления пределов
- •Свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей:
- •Основные способы вычисления пределов:
- •Лекция 2 предел функции
- •1 Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции в бесконечности
- •2 Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные пределы
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •Первый и второй замечательные пределы
- •3 Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация
- •Свойства функций, непрерывных в точке:
- •Непрерывность функции на отрезке
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Лекция 3 производная функции
- •1 Производная функции, ее геометрический и экономический смысл. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций
- •Основные правила дифференцирования
- •2 Логарифмическое дифференцирование. Производная неявной функции. Производные высших порядков
- •Лекция 4 правило лопиталя. Дифференциал функции
- •1 Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя
- •2 Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Лекция 5 исследование функций
- •1 Локальные экстремумы функции. Достаточные условия экстремума функции
- •2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба
- •3 Асимптоты графика функции
- •4 Общая схема построения графика функции
- •Лекция 6 функции нескольких переменных
- •1 Предел и непрерывность функции двух переменных
- •2 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал. Частные производные высших порядков
- •3 Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
- •Лекция 7 НеоПределенный иНтеграл
- •1 Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных неопределенных интегралов
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •2 Основные методы интегрирования
- •Лекция 8 НеоПределенный иНтеграл (продолжение)
- •1 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •2 Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование простейших иррациональных функций
- •Интегрирование простейших иррациональных функций
- •3 Интегрирование тригонометрических функций
- •Лекция 9 оПределенный иНтеграл
- •1 Определенный интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •2 Основные способы вычисления определенного интеграла Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям
- •Доказательство
- •3 Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длин дуг плоских кривых Площадь криволинейной трапеции
- •Объем тела вращения
- •Длина дуги плоской кривой
- •Лекция 10 несобственные интегралы
- •1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •2 Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Лекция 11 дифференциальные уравнения первого порядка
- •1 Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши
- •2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •1 Метод подстановки (метод Бернулли).
- •2 Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа)
- •Лекция 12 дифференциальные уравнения высших порядков
- •1 Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка
- •2 Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Лекция 13 числовые ряды
- •Числовой ряд. Сходимость. Признаки сходимости
- •1 Определение числового ряда. Сходимость. Основные свойства числовых рядов
- •Основные свойства числовых рядов
- •2 Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
- •3 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
- •Лекция 14 степенные ряды
- •Ключевые понятия
- •1 Определение степенного ряда. Теорема Абеля
- •2 Свойства степенных рядов
- •3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
- •Приложения степенных рядов
- •Список литературы
- •Содержание
- •Лекция 13 Числовые ряды………….……………………………………..93
- •Лекция 14 Степенные ряды……………………...……….………………103
- •Список литературы…………..…………….……...………………………..112
- •220086, Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение 10 Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
, |
(8) |
или уравнение вида
. |
(9) |
Заметим, что уравнение (8) можно привести к виду (9) и наоборот. Действительно, так как , то, умножив обе части уравнения на , будем иметь:
– уравнение вида (9).
Далее будем рассматривать уравнение вида (9). Для его решения необходимо добиться того, чтобы при дифференциале стояли только функции, зависящие от переменной х, а при дифференциале – функции, зависящие от переменной у, а затем получившееся уравнение с разделенными переменными можно будет почленно интегрировать.
Пусть ни одна из функций не равна нулю. Тогда, разделив уравнение (9) на произведение , получим уравнение с разделенными переменными:
, . |
(10) |
Интегрируя (10) почленно, получаем общий интеграл исходного уравнения (9):
. |
(11) |
Заметим, что мы делили уравнение (9) на произведение , предполагая, что , . При этом мы могли не учесть другие решения исходного уравнения. Непосредственной подстановкой или необходимо проверить, будут ли еще решения уравнения (9) помимо решения (11).
Пример 3 Решить уравнение .
Решение:.
Таким образом, мы получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получим
– общее решение данного уравнения.
Заметим:
1) мы взяли константу С в виде , учитывая вид интегралов;
2) мы делили на .
Пусть теперь . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как получается из общего при .
Пример 4 Решить задачу Коши
, .
Решение. Данное уравнение есть уравнение вида (9), т. е. уравнение с разделяющимися переменными. Непосредственно его интегрировать нельзя, так как при стоит функция от у, а при – функция от х. Умножив данное уравнение на , получим
. |
(12) |
Уравнение (12) – уравнение с разделенными переменными. Следовательно, его можно почленно интегрировать (обратите внимание на выбор вида константы С):
, х 0 – общее решение исходного ОДУ. Интегральными кривыми будут окружности радиуса с центром в начале координат:
Для решения задачи Коши необходимо из бесконечного множества интегральных кривых найти такую, которая проходит через точку . Для нахождения конкретного значения С подставим в общее решение:
.
Таким образом, решением задачи Коши будет функция , а соответствующая интегральная кривая – это окружность радиуса с центром в начале координат.
3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 11 Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
, |
(13) |
где и – непрерывные на отрезке функции.
Определение 12 Если в уравнении (13) правая часть , то оно называется линейным неоднородным, если – линейным однородным.
Существует несколько методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим некоторые из них. Сразу отметим, что при решении одного и того же уравнения различными методами мы должны получить один и тот же ответ.