Вопросами применимости закона Дарси посвящены также работы Е.М.Минского, Ф.И.Котяхова, Г.Ф.Требина, А.И.Абдулвагабова, М.Маскета и др. исследователей .

Заметим, что нарушение закона Дарси еще не означает нарушение ламинарности течения. Опыты Линдквиста и других исследователей показывают , что нарушение ламинарности происходит при числах R_е значительно больших, чем R_{е кр} . Причиной нарушения закона Дарси является проявление роли сил инерции, а причиной нарушения ламинарности является проявление турбулентного потока при достаточно больших скоростях движения. Поэтому нельзя считать областью турбулентности режима всю область значений параметра

R_е > R_е.кр. Всякий фильтрационный поток, в котором справедлив закон Дарси, есть поток ламинарный, но не всякий ламинарный поток подчиняется этому закону. При больших скоростях фильтрации закон Дарси нарушается вследствие влияния сил инерции, возникающих в жидкости в результате непрерывных , часто весьма резких, изменений направления и величины скорости ее движения; эти изменения обусловлены извилистостью поровых каналов в пространстве и непрерывным изменением их поперечного сечения. Пока скорости движения жидкости малы, эти инерционные силы ничтожны. Однако, начиная с некоторых значений скоростей, соответствующих критическим значениям чисел Рейнольдса, силы инерции достигают таких величин, при которых их действие оказывает существенное влияние на фильтрацию и приводит к нарушению линейного закона фильтрации Дарси.

Таким образом, ламинарность фильтрационного потока может сохраняться и после того, когда вследствие влияния сил инерции закон Дарси нарушается.

При нарушении закона Дарси зависимость между скоростью фильтрации V и градиентом давления dP/dS лучше всего описывается двухчисленной формулой (нелинейным законом)

= аV+bV², (1.22)

которая отражает плавный переход от линейного закона фильтрации к нелинейному; численные значения постоянных коэффициентов а и b находятся обычно экспериментально. В частности для прямолинейно - параллельного фильтрационного потока выражение (1.22) записывается в виде

, (1.23)

где  - дополнительная константа пористой среды, определяемая

экспериментально.

Первое слагаемое в правой части уравнений (1.22) и (1.23) учитывает потери давления вследствие вязкости жидкости, второе - инерционную составляющую сопротивления движению жидкости, связанную с криволинейностью поровых каналов. При достаточно малых скоростях фильтрации (аV  bV²) возможно пренебрежение слагаемым, содержащим V², и мы получаем закон Дарси; при значениях V  V_кр слагаемые аV и bV² имеют один и тот же порядок; при достаточно больших скоростях фильтрации (аV  bV²) пренебрегаем первым слагаемым , в результате получаем так называемый закон А.А Краснопольского (квадратичный закон)

= bV², (1.24)

который имеет место при фильтрации жидкости в крупнозернистых и трещиноватых коллекторах. Физически это означает, что инерционная составляющая фильтрационного сопротивления является преобладающей над составляющей вязкостного сопротивления.

Работами Е.М.Минского и других исследователей показано, что двухчленный закон фильтрации (1.22), (1.23) является физически наиболее обоснованным и осуществляется при всех числах Рейнельдса, встречающихся в практике разработки нефтегазовых месторождений.

Следует отметить также, что при исследованиях фильтрационных потоков в условиях нарушения закона Дарси используется нелинейный закон в виде одночленной степенной формулы

, (1.25)

где С и n - некоторые постоянные, определяемые опытным путем; причем 1<n2.

При n = 2 формула (1.25) переходит в формулу Краснопольского (1.24).

2. Нижняя граница применимости закона Дарси

Начиная с 50-х годов XX века появилось большое число экспериментальных и теоретических работ, отмечающих нарушение закона Дарси при малых скоростях фильтрации. Объяснение этого явления состоит в том, что при малых скоростях фильтрации жидкость не вполне отвечает гидродинамической модели вязкой однокомпонентной жидкости, а пористый скелет отличается от идеального твердого тела и его взаимодействие с жидкостью может не ограничиваться притяжением молекулярного слоя жидкости (условия прилипания). Часто в жидкости содержатся поверхностно- активные компоненты и компоненты, склонные к структурированию (в природных нефтях, особенно высоковязких); сам скелет пористой среды может содержать активные частицы (например, глинистые), которые легко взаимодействуют с полярными жидкостями (например, с водой) с образованием устойчивых в механическом отношении твердообразных структур. В частности при межфазовом взаимодействии нефти, содержащей поверхностно- активные компоненты, с развитой поверхностью пористой среды образуются устойчивые коллоидные растворы (студнеобразные пленки), частично или полностью перекрывающие поры; чтобы началось движение, нужно разрушить эту структуру, приложив некоторый перепад давления, т.е. начальный градиент давления .

Таким образом, при малых скоростях фильтрации природа нелинейного закона иная, чем в области больших скоростей (больших чисел Рейнольдса). Она связана с проявлением неньютоновских свойств фильтрующихся флюидов и других физико-химических эффектов.

При малых скоростях фильтрации сила вязкого трения жидкости пренебрежимо мала, тогда как сила межфазового взаимодействия (жидкости и скелета пористой среды) при этом остается конечной величиной , поскольку она не зависит от скорости и определяется лишь свойствами контактирующих фаз. Поэтому при малых скоростях фильтрации движение жидкости начинается лишь при градиенте давления, превышающим начальный (предельный) градиент давления  . Для простейшего случая одномерного прямолинейного потока нелинейный закон фильтрации неньютоновских жидкостей представляется в виде

, V> 0 . (1.26)

Если , то V=0.

II. Дифференциальные уравнения

ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

1. Общие положения.

Процессы, происходящие в нефтяных и газовых пластах при разработке нефтяных и газовых месторождений , существенно зависят от времени, т.е. являются нестационарными. Характеристики движения жидкости или газа - давление , скорость фильтрации и т.п .изменяются от точки к точке продуктивного пласта и образуют нестационарное поле давлений, скоростей фильтрации и т.п . Задачи нестационарной фильтрации жидкости или газа в пласте решаются методом математической физики; для этого составляются и интегрируются соответствующие дифференциальные уравнения.

К числу дифференциальных уравнений относятся:

1. дифференциальные уравнения движения жидкости или газа;

2. уравнение баланса массы в элементе пористой среды - уравнение неразрывности (сплошности) фильтрационного потока.

Дополнительно к дифференциальным уравнениям вводятся уравнения состояния флюида и пористой среды, определяемые параметрами . В итоге получаем замкнутую систему уравнений, т.е число уравнений в системе равно числу неизвестных функций, характеризующих рассматриваемый фильтрационный процесс и подлежащих определению. Для получения решения системы уравнений должны быть заданы начальные (при t=0) и краевые (граничные) условия - на границах пласта. При этом заметим, что фильтрация представляет собой очень медленный процесс и изменение температуры флюида в ходе движения (вследствие наличия сопротивления и расширения вещества) успевает компенсироваться теплообменом с окружающими горными породами. Поэтому считаем, что температура флюида равна температуре пористой среды и неизменна, т.е. Т_ф=Т_с=Т=const; это означает, что фильтрация считается изотермическим процессом.

В результате интегрирования полученных итоговых дифференциальных уравнений фильтрации получаем закон распределения давления, а, следовательно, и скорости фильтрации по всему пласту в любой момент времени, т.е. Р=Р(x,y,z,t); _x=_x(x,y,z,t); _у=_у(x,y,z,t), _z=_z(x,y,z).

Если принять жидкость несжимаемой (=const) в недеформируемой пористой среде (m=const,k=const) – самый упрощенный случай, то число искомых функций ограничится этими четырьмя параметрами (Р,V_x,V_y,V_z). Если предполагается фильтрация сжимаемого флюида в сжимаемой пористой среде, предстоит еще дополнительно определить значения параметров ,,k,m как функции координат и времени. В этом случае имеем восемь уравнений - дифференциальных и конечных- для определения восьми характеристик фильтрационного потока, жидкости (газа) и пористой среды. Аналитическое решение системы диф. уравнений в этом (общем) случае невозможно; необходимо численное решение с применением ЭВМ.

2.Дифференциальные уравнения

движения флюида.

Дифференциальные уравнения движения флюида получаются непосредственно из закона Дарси для трубки тока переменного сечения (рис.4)

, (2.1)

где Р - приведенное давление, Р=Р(S,t) .

Или в векторной форме:

. (2.2)

При этом предполагается изотропность пористой среды, т.е. предполагается постоянство проницаемости k по всем направлениям в окрестности рассматриваемой точки.

Представим вектор скорости фильтрации через составляющие по координатным осям:

= V_x*i + V_y*j +V_z*k (а)