Тема: Квадратный трехчлен.

1. Квадратный трехчлен y = ax² + bx + c не имеет корней и а + b + c > 0. Найдите знак коэффициента с.

Решение

Данный трехчлен не имеет корней, значит, его график не пересекает ось x. Так как y(1) = а + b + c > 0, то график располагается в верхней полуплоскости (см. рис.), следовательно, y(0) =с > 0.

2. Рассматриваются квадратичные функции y=x²+px+q, для которых p+q=2002. Покажите, что параболы, являющиеся графиками этих функций, пересекаются в одной точке.

Подсказка

1+p+q - это значение квадратичной функции y=x²+px+q в точке x=1.

Решение

Подберем такое значение x, чтобы выражение p+q было связано со значением квадратичной функции y=x²+px+q в точке x. Возьмем x=1. Тогда y(1) = 1+p+q, что равняется 1+2002=2003, согласно условию. Итак, для всех выписанных квадратичных функций выполнено y(1)=2003. Но это означает, что каждый из графиков этих квадратичных функций проходит через точку (1, 2003) координатной плоскости.

3. Укажите все точки плоскости (x;y), через которые проходит хотя бы одна кривая семейства

y = p² + (2p - 1)x + 2x².

4. Если при любом положительном p все корни уравнения

ax² + bx + c + p = 0

действительны и положительны, то коэффициент a равен нулю. Докажите.

Решение

Предположим, что a > 0. Тогда при больших положительных p дискриминант D = b² - 4ac - 4ap отрицателен, поэтому данное уравнение вообще не имеет действительных корней. Предположим, что a < 0. Тогда при больших положительных p произведение корней, равное , отрицательно.

5. При каких a уравнение а) ax² + (a + 1)x - 2 = 0; б) (1 - a)x² + (a + 1)x - 2 = 0 имеет два различных корня?

6. Известно, что модули всех корней уравнений

x^2 + Ax + B	=	0,
x^2 + Cx + D	=	0

меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения x² + x + = 0 также меньше единицы. A, B, C, D — действительные числа.

Решение

Пусть | x| > 1. Тогда x² + Ax + B > 0 и x² + Cx + D > 0. Поэтому x² + x + > 0.

7. Про квадратный трехчлен f(x) = ax² - ax + 1 известно, что |f(x)| < 1 при 0 < x < 1. Найдите наибольшее возможное значение а.

Решение

Так как f (0) = f (1) = 1, то графиком трехчлена является парабола, симметричная относительно прямой x = 0, 5 (см. рис.). Из условия | f (x)|1 при 0x1 следует, что "ветви" параболы направлены вверх, а наибольшее значение а достигается в случае, когда наименьшее значение функции равно -1. Из того, f (0, 5) = - 1, получаем, что а = 8.

8. Про действительные числа a,b,c известно, что (a+b+c)c<0. Докажите, что b²-4ac>0

Подсказка

Рассмотрите квадратный трехчлен f(x)=x²+bx+ac.

Решение

Рассмотрим квадратный трехчлен f(x)=x²+bx+ac. Из условия следует, что f(c)=c²+bc+ac=(a+b+c)c<0, т.е. в точке x=c функция f(x) принимает отрицательное значение. Так как коэффициент при x² положителен, то дискриминант данного квадратного трехчлена положителен (иначе бы трехчлен f(x) принимал бы только неотрицательные значения) . А это и означает, что b²-4ac>0. Неотрицательность дискриминанта также ясна и из графика: парабола с ветвями вверх, проходящая через точку с отрицательной ординатой, обязана пересечь ось абсцисс.

9. Квадратный трехчлен ax²+bx+c имеет два действительных корня. Верно ли, что трехчлен a¹⁰¹x²+b¹⁰¹x+c¹⁰¹ также имеет два действительных корня?