Решение

Первый способ. Схематически изобразим графики данных трёхчленов. Из условия следует, что каждый из этих трёхчленов при x = 1000 принимает положительное значение (см. рис.). Следовательно, и их сумма в этой точке положительна.

График трёхчлена, являющегося суммой данных, также располагается ветвями вверх (он показан на рис. пунктиром). Пусть один из его корней больше тысячи, а другой --меньше тысячи. Тогда число 1000 располагается между корнями, то есть значение суммы при x = 1000 отрицательно. Противоречие.

Второй способ. Параллельно перенесём графики данных трёхчленов на 1000 единиц влево. Эта операция эквивалентна замене в условии задачи 1000 на 0. Получим приведенные трёхчлены: x² + p₁x + q₁ с отрицательными корнями и  x² + p₂x + q₂ с положительными корнями. Тогда по теореме Виета q₁ > 0 и q₂ > 0. Сумма данных трехчленов имеет вид 2x² + (p₁ + p₂)x + (q₁ + q₂), где q₁ + q₂ > 0, поэтому ее корни одного знака. Значит, описанная в задаче ситуация невозможна.

Ответ

Нет.

20. Известно, что уравнение x² + 5bx + c = 0 имеет корни x₁ и x₂ , x₁x₂, а некоторое число является корнем уравнения y² + 2x₁y + 2x₂ = 0 и корнем уравнения z² + 2x₂z + 2x₁ = 0. Найти b.

21. Известно, что многочлены ax² + bx + c и bx² + cx + a (a0) имеют общий корень. Найдите его.

22. Пусть  — корень уравнения x² + px + q = 0, а  — уравнения x² - px - q = 0. Докажите, что между и лежит корень уравнения x² - 2px - 2q = 0.

23. Докажите, что корни уравнения а) (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - a)(x - c) = 0; б) c(x - a)(x - b) + a(x - b)(x - c) + b(x - a)(x - c) = 0 — всегда вещественные.

24. При каких значениях параметра a оба корня уравнения (2 - a)x² - 3ax + 2a = 0 больше ?

25. При каких значениях параметра a оба корня уравнения (1 + a)x² - 3ax + 4a = 0 больше 1?

26. При каких значениях параметра a уравнение (a - 1)x² - 2(a + 1)x + 2(a + 1) = 0 имеет только одно неотрицательное решение?

27. Найдите все значения параметра r, при которых уравнение (r - 4)x² - 2(r - 3)x + r = 0 имеет два корня, причем каждый из них больше -1.

28. При каком положительном значении p уравнения 3x² - 4px + 9 = 0 и x² - 2px + 5 = 0 имеют общий корень?

29. В квадратном уравнении x² + px + q = 0 коэффициенты p и q независимо пробегают все значения от -1 до 1. Найдите множество значений, которые могут при этом принимать действительные корни этого уравнения.

30. Автор: Ю.И.Ионин

Квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c таков, что уравнение f(x) = x не имеет вещественных корней. Докажите, что уравнение f(f(x)) = x также не имеет вещественных корней.

31. x₁ – вещественный корень уравнения x²+ax+b=0 , x₂ – вещественный корень уравнения x²-ax-b=0 . Доказать, что уравнение x²+2ax+2b=0 имеет вещественный корень, заключённый между x₁ и x₂ ( a и b – вещественные числа).

Решение

1-й способ. Если уравнение x²+ax+b=0 имеет вещественный корень, то D₁=a²-4b>= 0 или a²>= 4b . Отсюда сразу получим, что уравнение x²+2ax+2b=0 тоже имеет действительные корни, так как его дискриминант D₃/4=a²-2b>= 4b-2b=2b>= 0 , если b>= 0 . Если же b<0 , то D₃ тем более неотрицателен. Рассматривая различные четыре комбинации знаков для параметров a и b , замечаем, что достаточно рассмотреть один случай, так как при других комбинациях лишь меняются ролями первое и второе уравнения, либо получаем графики, симметричные относительно оси ординат. Положим поэтому, например, что b>0, a<0 . При этом первое и третье уравнения будут иметь два положительных корня, а второе – два корня разных знаков, причем отрицательный корень будет большим по абсолютной величине. Поскольку второе уравнение имеет отрицательный корень, то корни третьего уравнения ограничены слева этим корнем второго уравнения (можно показать, что и положительный корень второго уравнения меньше корней третьего уравнения). Остается доказать, что один из корней третьего уравнения ограничен сверху корнями первого уравнения. Сравним меньший (положительный) корень третьего уравнения с корнями первого уравнения (они оба тоже положительны), выразив их через параметры по формулам корней квадратного уравнения:

-a- (-a)/2,

-a 2.

Обе части неравенства положительны. Возведем неравенство почленно в квадрат. Получим

a² 4a²-8b 4+a²-4b,

0 a²-3b .

Отсюда видно, что знак неравенства – знак `<', т. е. меньший корень третьего уравнения меньше корней первого уравнения, а поскольку он больше корней второго уравнения, то требуемое доказано. 2-й способ. Рассмотрим графики левых частей наших трех уравнений. Легко видеть, что все три параболы пересекаются в одной и той же точке с координатами ((-b)/a,b²/a²) и других точек пересечения не имеют. Поскольку абсциссы вершин первой и второй парабол симметричны относительно оси ординат ((-b)/a и a/2) , то эти параболы пересекают ось абсцисс по разные стороны по отношению к точке их пересечения, расположенной над осью абсцисс. Поэтому оба корня первого уравнения больше обоих корней второго уравнения (при ранее выбранных знаках параметров a и b ). Кроме того, третья парабола пересечет ось абсцисс между точками пересечения с осью абсцисс первых двух парабол, ибо в противном случае третья парабола должна иметь еще одну точку пересечения с остальными параболами (рис.). Для других комбинаций знаков параметров a и b получим аналогичные чертежи.

32. Автор: И.Ф.Шарыгин

Если для чисел p₁, p₂, q₁ и q₂ выполнено неравенство

(q₁ – q₂)² + (p₁ – p₂)(p₁q₂ – p₂q₁) < 0,

то квадратные трёхчлены x² + p₁x + q₁ и x² + p₂x + q₂ имеют вещественные корни, причём между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.

33. Найти все действительные решения уравнения

x² + 2x sin(xy) + 1 = 0.

Решение

Ответ: x = ±1, y = - + k. Если мы рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x, то его дискриминант будет равен 4sin²(xy) - 1. Дискриминант должен быть неотрицательным, поэтому sin²(xy)1, т.е. sin(xy) = ±1. Решения уравнения x²±2x + 1 = 0 имеют вид x = 1. Далее, если sin(y) = ±1, то sin y = - 1.

34. Доказать, что если целое n > 2, то

(1 ^. 2...n)² > nⁿ.

Решение

Рассмотрим квадратный трёхчлен . Если 1 < x < n - 1, то . Поэтому если n > 2, то

(1 ^. 2 ^. ... ^. n)² = (1 ^. n) ^. (2 ^. (n - 1)) ^. (3(n - 2))...(n ^. 1) > n ^. n ^. n... ^. n = nⁿ.

35. Докажите, что для любого натурального n, большего двух, выполнено неравенство (n!)²>nⁿ.

Подсказка

Разложите (n!)² на n сомножителей, каждый из которых не меньше n.

Решение

Представим (n!)² в виде произведения n сомножителей следующим образом: (n!)² = (1*2*...*(n-1)*n)*(n*(n-1)*...*2*1) = (1*n)*(2*(n-1))*...*(n*1). Каждый из сомножителей имеет вид k*(n+1-k) для некоторого k от 1 до n. Но каждое такое выражение не меньше, чем n. В самом деле, k*(n+1-k)-n = (k-1)(n-k) - неотрицательное выражение, а если k не равно 1 или n, то строго положительное выражение. Итак, если n>2, то одно из выражений (1*n), (2*(n-1)), ... , (n*1) строго больше n, а остальные не меньше n.

36. Фазовая плоскость Opq разбивается параболой p² - 4q = 0 и прямыми p + q + 1 = 0, -2p + q + 4 = 0 на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен x² + px + q = 0 на интервале (- 2;1).

37. Известно, что уравнение x⁴+ax³+2x²+bx+1=0 имеет действительный корень. Докажите неравенство: a²+b²>8.