Решение

Пусть r₀ = 1, r₁ = 10 - m[10/m]... — остатки, которые возникают при делении 1 на m столбиком. Тогда r_k 10^k(mod m), так как приписывание нуля равносильно умножению на 10. Если (m, 10) = 1, то 10^(m) 1(mod m), то есть r_(m) = r₀ = 1. Отсюда следует, что у дроби отсутствует предпериод, и что длина периода делит (m).

10. Докажите, что если (m, 10) = 1, то частное 9E_n/m, записанное как n- значное число (возможно с нулями в начале), состоит из нескольких периодов десятичного представления дроби 1/m. Кроме того, если еще выполнены условия (m, 3) = 1 и E_n -- первый репьюнит, делящийся на m, то число 9E_n/m будет совпадать с периодом. Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

11. Докажите, что если (m, 30) = 1, то число, состоящее из цифр периода дроби 1/m, делится на 9. Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

12. При разложении чисел A и B в бесконечные десятичные дроби длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна длина минимального периода числа A + B? Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Решение

Как известно, длина минимального периода дроби является делителем длины любого другого ее периода, (длину минимального периода конечной десятичной дроби мы будем считать равной единице).

Докажем следующее утверждение: если k - длина одного из периодов (не обязательно минимального) каждой из дробей A и B, то k будет длиной некоторого периода дробей A + B и A - B.

Докажем утверждение для A + B (доказательство для A - B аналогично). Периодическую дробь A с длиной периода k можно представить в виде

A = ,

где X - целое число. Аналогично можно записать B = . Без ограничения общности можно считать, что lm. Тогда

A + B = .

Это число такого же вида, так что соответствующая дробь имеет период длины k. Утверждение доказано.

Пусть дробь A имеет период длины 6, а дробь B - период длины 12. Из доказанного утверждения следует,что 12 - длина некоторого периода дроби A + B. Значит, длина минимального периода дроби A + B является делителем числа 12.

С другой стороны, длина периода дроби A + B не может равняться 6 - иначе дробь B = (A + B) - A имела бы период длины 6. Значит, длина минимального периода дроби A + B не может равняться 6, 3, 2 и 1.

Остаются два варианта: 12 и 4. Покажем, что оба эти варианта возможны:

A = 0,(000001), B = 0,(000000000001), A + B = 0,(000001000002); A = 0,(000001), B = 0,(011100110110), A + B = 0,(0111).

Комментарии. 1^o. Покажем как придумать пример дробей с длинами минимальных периодов 6 и 12, сумма которых имеет минимальный период длины 4. Надо из любой дроби с минимальным периодом длины 4 вычесть дробь с минимальным периодом длины 6, получим дробь с минимальны периодом длины 12.

2^o. Опишем все возможные длины минимальных периодов дроби A + B в общем случае. Пусть m, n и k - длины минимальных периодов дробей A, B и A + B. Тогда k является делителем наименьшего общего кратного чисел m и n. Аналогично, m - делитель НОК(n, k), и n - делитель НОК(m, k). Пусть p₁, ..., p_s - все простые делители НОК(m, n), причем

m = p₁...p_s, n = p₁...p_s,

где , могут равняться нулю. Тогда из предыдущего следует, что k = p₁...p_s, где = max(,), при , и - любое число от 0 до , при = . Можно показать и обратное: любое такое k является длиной минимальногопериода некоторой дроби A + B, где длина минимального периода дроби A равна m, а длина минимального периода дроби B равна n.