Решение
= 0,(020408163265306122448979591836734693877551). Если просуммировать геометрическую прогрессию 2/102 + 4/104 +..., то получается в точности 1/49.
14. Пусть (n, 10) = 1, m < n, (m, n) = 1, и t — наименьшее число такое, что 10t - 1 делится на n. Докажите, что t кратно длине периода дроби m/n. Будет ли это длина периода? Сложность: 4- Классы: 8,9,10
Решение
Если 10t 1(mod n), то остатки r0 и rt (см. задачу 5.41 ) совпадают, так как r0 = m и rt 10tm(mod n). Значит период дроби m/n делит t. Наоборот, если T — длина периода, то rT = r0 (дробь чисто периодическая согласно задаче 5.41 ) и r010T r0(mod n). Так как r0 = m и (m, n) = 1, то полученное сравнение можно сократить на r0. Следовательно, 10T 1(mod n).
15. Обозначим через L(m) длину периода дроби 1/m. Докажите, что если (m, 10) = 1, то L(m) является делителем числа (m). Сложность: 4 Классы: 9,10,11
16. Эффект девяток. Периодом дроби 1/7 является число N = 142 857. Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин периода — число из одних девяток ( 142 + 857 = 999). Докажите в общем случае, что для простого q > 5 и натурального p < q период дроби p/q есть 2n-значное число N = такое, что N1 + N2 = . Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11
Решение
Пусть t = 2n — длина периода. Согласно задаче 5.43 , выполняется сравнение 10t 1(mod q). Отсюда 10n - 1(mod q) и + = 1. Но в десятичной системе эти дроби имеют вид
= 0,, = 0,,
поэтому N1 + N2 = .
17. Пусть (m, n) = 1. Докажите, что сумма длин периода и предпериода десятичного представления дроби m/n не превосходит (n). Сложность: 4+ Классы: 10,11
18. Обозначим через L(m) длину периода дроби 1/m. Докажите, что если (m1, 10) = 1 и (m2, 10) = 1, то справедливо равенство L(m1m2) = [L(m1), L(m2)]. Чему равна длина периода дроби 1/m1 + 1/m2? Сложность: 4+ Классы: 10,11
19. Пусть число m имеет вид m = 2a5bm1, где (10, m1) = 1. Положим k = max(a, b). Докажите, что период дроби 1/m начинается с (k + 1)-ой позиции после запятой, и имеет такую же длину, как и период дроби 1/m1. Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
20. Загадочное число. Число N = 142 857 обладает и рядом других свойств. Например: 2 . 142 857 = 285 714, 3 . 142 857 = 428 571..., то есть при умножении на 1, 2, 3,..., 6 цифры циклически переставляются; 14 + 28 + 57 = 99; N2 = 20 408 122 449, 20 408 + 122 449 = 142 857 = N. Аналогичные операции можно проделывать и с другими периодами дробей. Что получается для чисел 1/17, 1/19? Объясните эти факты. Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11
Решение
При разложении 1/7 в десятичную дробь последовательность остатков устроена следующим образом:
r0 = 1, r1 = 3, r2 = 2, r3 = 6, r4 = 4, r5 = 5, r6 = 1,...
Первое свойство объясняется равенствами
2 . = , 3 . = , 4 . = ,...
Объяснение второго свойства получается, если в равенстве + + = 1 перейти к десятичной записи. Чтобы объяснить последнее свойство, запишем N в виде N = (106 - 1)/7. Отсюда N2 = (106 - 1)2/49. Число, которое получается сложением половинок числа N2, будет периодом дроби
= N2 = = .
Так как
= = 0,(142857),
то из половинок числа N2 получится число N.
21. Найдите последние три цифры периодов дробей 1/107, 1/131, 1/151. (Это можно сделать, не считая предыдущих цифр.) Сложность: 4+ Классы: 10,11
22. Число Фейнмана. Объясните поведение следующей десятичной дроби и найдите ее период:
= 0, 004 115 226 337 448...
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
Ответ
= 0,(004 115 226 337 448 559 670 781 893).
23. Коля Васин задумал написать программу, которая дала бы возможность компьютеру печатать одну за другой цифры десятичной записи числа . Докажите, что даже если бы машина не ломалась, то Колина затея все равно бы не удалась, и рано или поздно компьютер напечатал бы неверную цифру. Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
24. Автор: А. Карагулян
a1, a2, a3, ..., an, ... — возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что an + 1 ≤ 10an при всех натуральных n. Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0, a1a2a3..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая. Сложность: 3+ Классы: 8,9,10